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12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
La fonction de transfert peut naturellement être décomposée en éléments simples :
H(z) =
a j
1 −
p j
z
et il faudra qu’aucun de ces termes ne tende vers l’infini lorsque z → 1 pour assurer la stabilité du système.
Une première analyse nous montre que s’il existe un pôle réel égal à 1, la sortie s k ne pourra converger.
Toutefois, les pôles p j peuvent être complexes et dans ce cas, on peut montrer qu’un pôle de module 1
entraînera également l’instabilité du système.
On sait par ailleurs que le domaine de convergence (donc d’existence) de la transformée en z est tel que
|z| > r. Pour faire tendre z vers 1, il faut bien évidemment que le seuil de convergence r soit inférieur à 1.
Le seul moyen de garantir qu’aucun terme de la décomposition en éléments simples ne diverge lorsque
z tend vers 1 est donc de n’avoir que des pôles p j dont le module sera strictement inférieur à 1.
Remarque : Ce développement théorique ne constitue pas, à proprement parler, une démonstration,
mais il permet d’avoir une approche simple du critère mathématique de stabilité.
Généralisons donc ce résultat :
Un système échantillonné est stable si et seulement si tous les pôles p j de sa fonction de transfert sont
tels que |p j | < 1.
On traduit souvent cette propriété par la proposition suivante qui concerne la position des pôles dans le
plan complexe : un système est stable si et seulement si les pôles de sa fonction de transfert se trouvent tous
à l’intérieur du cercle de rayon 1.
b) Exemple : stabilité en boucle ouverte d’un système AR du premier ordre
On considère un système régi, en boucle ouverte, par une équation de récurrence d’ordre 1 :
s k = be k + as k−1
En appliquant la transformée en z, on obtient :
S(z) = bE(z) + az
−1 S(z)
d’où :
G(z) =
S(z)
E(z)
=
b
1 − az −1
L’unique pôle de la fonction de transfert est a. Par conséquent, la condition de stabilité est :
|a| < 1
c) Exemple : stabilité en boucle fermée d’un système AR du premier ordre
On considère un système échantillonné de fonction de transfert en boucle ouverte G(z) placé dans une
boucle à retour unitaire (figure 12.6), avec :
G(z) =
b
1 − az −1 =
bz
z − a
Les paramètres b et a sont positifs. De plus, on supposera que a < 1.
Rappelons que ce système correspond, en boucle ouverte, à l’équation de récurrence suivante :
s k = be k + as k−1
12 • Stabilité et performances des systèmes échantillonnés asservis
La fonction de transfert peut naturellement être décomposée en éléments simples :
H(z) =
a j
1 −
p j
z
et il faudra qu’aucun de ces termes ne tende vers l’infini lorsque z → 1 pour assurer la stabilité du système.
Une première analyse nous montre que s’il existe un pôle réel égal à 1, la sortie s k ne pourra converger.
Toutefois, les pôles p j peuvent être complexes et dans ce cas, on peut montrer qu’un pôle de module 1
entraînera également l’instabilité du système.
On sait par ailleurs que le domaine de convergence (donc d’existence) de la transformée en z est tel que
|z| > r. Pour faire tendre z vers 1, il faut bien évidemment que le seuil de convergence r soit inférieur à 1.
Le seul moyen de garantir qu’aucun terme de la décomposition en éléments simples ne diverge lorsque
z tend vers 1 est donc de n’avoir que des pôles p j dont le module sera strictement inférieur à 1.
Remarque : Ce développement théorique ne constitue pas, à proprement parler, une démonstration,
mais il permet d’avoir une approche simple du critère mathématique de stabilité.
Généralisons donc ce résultat :
Un système échantillonné est stable si et seulement si tous les pôles p j de sa fonction de transfert sont
tels que |p j | < 1.
On traduit souvent cette propriété par la proposition suivante qui concerne la position des pôles dans le
plan complexe : un système est stable si et seulement si les pôles de sa fonction de transfert se trouvent tous
à l’intérieur du cercle de rayon 1.
b) Exemple : stabilité en boucle ouverte d’un système AR du premier ordre
On considère un système régi, en boucle ouverte, par une équation de récurrence d’ordre 1 :
s k = be k + as k−1
En appliquant la transformée en z, on obtient :
S(z) = bE(z) + az
−1 S(z)
d’où :
G(z) =
S(z)
E(z)
=
b
1 − az −1
L’unique pôle de la fonction de transfert est a. Par conséquent, la condition de stabilité est :
|a| < 1
c) Exemple : stabilité en boucle fermée d’un système AR du premier ordre
On considère un système échantillonné de fonction de transfert en boucle ouverte G(z) placé dans une
boucle à retour unitaire (figure 12.6), avec :
G(z) =
b
1 − az −1 =
bz
z − a
Les paramètres b et a sont positifs. De plus, on supposera que a < 1.
Rappelons que ce système correspond, en boucle ouverte, à l’équation de récurrence suivante :
s k = be k + as k−1