12.2 Stabilité des asservissements échantillonnés
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La principale conséquence de cette constatation est le mode de calcul de la fonction de transfert en
boucle fermée d’un système asservi à temps discret lorsque celui-ci est déterminé à partir d’un modèle à
temps continu : il n’est pas possible de déterminer la fonction de transfert en z en boucle fermée à partir
de l’équivalence de la fonction de transfert en boucle fermée en temps continue H( p). Il faut déterminer
indépendamment les fonctions de transfert en z de chaque sous-système (figure 12.5) et calculer la fonction
de transfert en boucle fermée H(z) à partir de l’expression :
H(z) =
A(z)
1 + A(z)B(z)
Figure 12.5 Schéma de l’asservissement échantillonné attendu.
12.2 STABILITÉ DES ASSERVISSEMENTS ÉCHANTILLONNÉS
12.2.1 Critère mathématique de stabilité
a) Énoncé du critère
Pour les systèmes à temps discret, la définition de la stabilité reste la même : à une entrée finie doit correspondre une sortie finie. Considérons un système échantillonné défini par la fonction de transfert suivante :
H(z) =
a 0 + a 1 z
−1 + a 2 z
−2 + · · · + a p z
− p
1 + b 1 z −1 + b 2 z −2 + · · · + b q z −q =
a 0
p
i=1
1 − z i z
−1
q
j=1
1 − p j z −1
Les z i et les p j sont respectivement les zéros et les pôles de la fonction de transfert.
Plaçons un échelon unité à l’entrée de ce système, soit : E(z) =
z
z − 1
.
On a alors :
S(z) = H(z)E(z) =
a 0
p
i=1
1 − z i z
−1
q
j=1
1 − p j z −1
·
z
z − 1
D’après le théorème de la valeur finale, on a :
lim
k→+∞
s k = lim
z→1
z − 1
z
S(z)
= lim
z→1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
a 0
p
i=1
1 − z i z
−1
q
j=1
1 − p j z −1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
= lim
z→1
H(z)
Or le système sera stable si et seulement si s k tend vers une valeur finie.