Solutions des exercices
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De plus, chaque suite semble converger vers la même limite s∞ = 3, ce qui est confirmé par le calcul des trois valeurs
finales :
s1 ∞ = lim
z→1
1 − z
−1
S1(z)
= lim
z→1
z − 1
z
G1(z) ·
z
z − 1
=
1,5
1,5 − 1
= 3
s2 ∞ = lim
z→1
1 − z
−1
S2(z)
= lim
z→1
z − 1
z
G2(z) ·
z
z − 1
=
1,5 × 2
2,5 − 1,5
= 3
s3 ∞ = lim
z→1
1 − z
−1
S3(z)
= lim
z→1
z − 1
z
G3(z) ·
z
z − 1
=
1,2
1 − 0,6
= 3
Figure 11.26 Réponses temporelles comparées.
Procédons pour terminer, aux trois études fréquentielles.
On a :
G1(z) =
1,5
1,5 − z −1 ⇒ G1( jv) =
1,5
1,5 − e − jvTe
d’où :
G1(v) =
1,5
(1,5 − cos vTe)
2 + sin
2 vTe
=
1,5
3,25 − 3 cos vTe
On remarque que G1(0) = 3 et que G1
p
Te
= 0,6.
Par ailleurs :
G2(z) =
1,5
1 + z
−1
2,5 − 1,5z −1 ⇒ G2( jv) =
1,5
1 + e
− jvTe
2,5 − 1,5 e − jvTe
d’où :
G2(v) =
1,5
(1 + cos vTe)
2 + sin
2 vTe
(2,5 − 1,5 cos vTe)
2 + 2,25 sin
2 vTe
=
1,5
√
2 + 2 cos vTe
8,5 − 7,5 cos vTe
On note que G2(0) = 3 et que G2
p
Te
= 0.
Pour finir :
G3(z) =
1,2
z − 0,6
⇒ G3( jv) =
1,2
e jvTe −0,6
d’où :
G3(v) =
1,2
(cos vTe − 0,6)
2 + sin
2 vTe
=
1,2
1,36 − 1,2 cos vTe
On a, ici : G3(0) = 3 et G3
p
Te
= 0,75.