Solutions des exercices
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11.8 La figure 11.23 représente, d’une part le signal continu et d’autre part, le signal échantillonné à la fréquence fe.
Figure 11.23 Signal original et signal échantillonné.
Par définition, la transformée de Fourier en temps discret est obtenue à partir de la transformée en z du signal. Or, nous
connaissons cette transformée (exercice 11.1) :
S(z) =
z − z
−k 0
z − 1
Ici, on a :
k0 ≈
t
Te
⇒ S(z) =
z − z
−
t
T e
z − 1
d’où :
s (f ) =
e
jvTe − e
− jvt
e jvTe −1
Le spectre du signal est obtenu en calculant le module de cette expression :
|s (f )| =
e
jvTe − e
− jvt
|e jvTe −1|
=
|cos vTe − cos vt + j (sin vTe + sin vt)|
|cos vTe − 1 + j sin vTe|
|s (f )| =
(cos vTe − cos vt)
2 + (sin vTe + sin vt)
2
(cos vTe − 1)
2 + (sin vTe)
2
soit :
|s (f )| =
√
2 − 2 cos vTe cos vt + 2 sin vTe sin vt
√
2 − 2 cos vTe
d’où :
|s (f )| =
√
2 − 2 cos (Te + t) v
√
2 − 2 cos vTe
=
4 sin
2 (Te + t) v
2
4 sin
2 vTe
2
=
sin
(Te + t) v
2
sin
vTe
2
Ce spectre est à tracer sur l’intervalle de fréquences
0,
fe
2
, donc sur l’intervalle de pulsations
0,
2p fe
2
=
0,
p
Te
.
On remarquera, notamment, que le spectre s’annule pour les fréquences telles que :
sin
(Te + t) v
2
= 0 ⇒
(Te + t) v
2
= kp ⇒ v =
2kp
Te + t
⇒ f =
k
Te + t
Avec t = 19Te, on a :
|s (f )| =
sin 10v
sin
vTe
2
Dans ce cas, les fréquences pour lesquelles le spectre s’annule ont pour expressions :
v =
kp
10
⇒ f =
k
20
De plus :
|s (0)| →
10v
vTe
2
=
20
Te