Solutions des exercices
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11.3 La fonction de transfert en z se détermine immédiatement à partir de l’équation de récurrence :
sk = 0,5ek−1 − 0.6sk−1 ⇔ S(z) = 0,5z
−1 E(z) − 0,6z
−1 S(z)
d’où :
G(z) =
S(z)
E(z)
=
0,5z
−1
1 + 0,6z −1 =
0,5
z + 0,6
Lorsqu’on injecte un échelon unité à l’entrée de ce système, on a :
S(z) = G(z)E(z) =
0,5
z + 0,6
·
z
z − 1
La valeur finale du signal de sortie est donc :
lim
k→+∞
sk = lim
z→1
1 − z
−1
S(z) = lim
z→1
z − 1
z
·
0,5
z + 0,6
·
z
z − 1
soit :
lim
k→+∞
sk = lim
z→1
0,5
z + 0,6
= 0,3125
➤ Résolution avec Mathematica
La commande InverseZTransform
0,5 × z/ ((z + 0,6) (z − 1)) , z, k
fournit immédiatement la transformée inverse de
S (z), autrement dit l’expression des sk :
sk = 0,3125
1 − (−0,6)
k
La limite de sk lorsque k → ∞ s’obtient aisément :
Limit
0,3125
1 − (−0,6)
k
, k− > Infinity
, qui renvoie la valeur 0,3125.
11.4 La fonction de transfert en z nous conduit immédiatement à l’équation de récurrence :
G(z) =
1 − z
−1
1 − 0,25z −1 + 0,25z −2 ⇔ S(z)
1 − 0,25z
−1 + 0,25z
−2
= E(z)
1 − z
−1
d’où :
sk − 0,25sk−1 + 0,25sk−2 = ek − ek−1
Nous retiendrons :
sk = ek − ek−1 + 0,25sk−1 − 0,25sk−2
Calculons les échantillons de sortie (tableau 11.1) et représentons les graphiquement (figure 11.19).
Tableau 11.1 CALCUL DE LA SUITE D’ÉCHANTILLONS.
Calculons pour finir la valeur finale du signal :
lim
k→+∞
sk = lim
z→1
1 − z
−1
S(z) = lim
z→1
1 − z
−1
G(z)E(z)
lim
k→+∞
sk = lim
z→1
z − 1
z
·
1 − z
−1
1 − 0,25z −1 + 0,25z −2 ·
z
z − 1