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11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés
SOLUTIONS
11.1 Le signal s
∗ (t), que nous pouvons représenter graphiquement (figure 11.18) peut être écrit sous la forme d’une
différence de deux signaux :
s
∗ (t) = s
∗
1 (t) − s
∗
2 (t)
Figure 11.18 Train d’impulsions.
Le signal s
∗
1 (t) est un échelon unitaire et le signal s
∗
2 (t) est un échelon unitaire retardé de k0 + 1 échantillons (soit d’un
temps (k0 + 1) Te.
Par conséquent :
S(z) = S1(z) − S2(z)
avec :
S1(z) =
z
z − 1
et :
S2(z) =
z
z − 1
· z
−(k 0 +1)
d’où :
S(z) =
z − z
−k 0
z − 1
11.2 Décomposons le signal sinusoïdal en une somme d’exponentielles :
s(t) = sin vt =
e
jvt − e
− jvt
2j
La transformation en z étant linéaire, on a :
S(z) =
1
2j
Z
e
jvt
− Z
e
−jvt
soit :
S(z) =
1
2j
z
z − e jvTe −
z
z − e − jvTe
S(z) =
1
2j
z
z − e
− jvTe −z + e
jvTe
(z − e jvTe ) (z − e − jvTe )
=
1
2j
z
e
jvTe − e
− jvTe
z 2 − z (e jvTe + e − jvTe ) + 1
d’où :
S(z) =
z sin vTe
z 2 − 2z cos vTe + 1
➤ Résolution avec Mathematica
La commande : Ztransform[Sin[Omega × T × k],k,z ] permet d’obtenir immédiatement le résultat.