Exercices
225
Par conséquent, il est impossible, lorsque deux systèmes sont associés en cascade (figure 11.17) de
calculer l’équivalent de la fonction de transfert globale G 0 ( p) = G 1 ( p)G 2 ( p) par la multiplication pure
et simple de G 1 (z)G 2 (z). En effet, en cherchant l’équivalent G 0 (z) de G 0 ( p), on suppose implicitement que
seuls les signaux d’entrée et de sortie de G 0 sont échantillonnés. Et lorsque l’on écrit G 1 (z)G 2 (z), on suppose
que le signal sortant de G 1 et entrant dans G 2 est lui aussi échantillonné, sinon, on ne pourrait trouver ces
deux équivalents.
Figure 11.17 Principe de l’équivalence Laplace – Z pour une association en cascade.
En conclusion, on ne peut pas déterminer l’équivalent en z d’une association de plusieurs systèmes en
multipliant les deux fonctions de transfert en temps continu, puis en cherchant l’équivalent de la fonction
globale ; il faut impérativement calculer d’abord les fonctions de transfert en z de chaque système,
puis multiplier ces fonctions de transfert en z pour obtenir la fonction de transfert échantillonnée de
l’ensemble.
EXERCICES
11.1 Calcul de la transformée en z d’un train d’impulsion
On considère un signal échantillonné s
∗ (t) défini par :
s k = 1 pour 0 k k 0 ,
s k = 0 pour k < 0 et pour k > k 0 .
Soit T e la période d’échantillonnage.
Calculer la transformée en z de ce signal.
11.2 Calcul de la transformée en z d’une sinusoïde échantillonnée
On considère un signal échantillonné s
∗ (t) résultant de l’échantillonnage, à une période T e , du signal défini
par :
s(t) = sin vt pour t > 0,
s(t) = 0 pour t < 0.
Calculer la transformée en z de ce signal.
11.3 Fonction de transfert et relation de récurrence
On considère un système échantillonné régi par la relation de récurrence suivante :
s k = 0,5e k−1 − 0.6s k−1
Calculer la fonction de transfert en z de ce système et déterminer la valeur finale de l’échantillon de sortie,
soit lim
k→+∞
s k lorsque le signal d’entrée est un échelon unité.
225
Par conséquent, il est impossible, lorsque deux systèmes sont associés en cascade (figure 11.17) de
calculer l’équivalent de la fonction de transfert globale G 0 ( p) = G 1 ( p)G 2 ( p) par la multiplication pure
et simple de G 1 (z)G 2 (z). En effet, en cherchant l’équivalent G 0 (z) de G 0 ( p), on suppose implicitement que
seuls les signaux d’entrée et de sortie de G 0 sont échantillonnés. Et lorsque l’on écrit G 1 (z)G 2 (z), on suppose
que le signal sortant de G 1 et entrant dans G 2 est lui aussi échantillonné, sinon, on ne pourrait trouver ces
deux équivalents.
Figure 11.17 Principe de l’équivalence Laplace – Z pour une association en cascade.
En conclusion, on ne peut pas déterminer l’équivalent en z d’une association de plusieurs systèmes en
multipliant les deux fonctions de transfert en temps continu, puis en cherchant l’équivalent de la fonction
globale ; il faut impérativement calculer d’abord les fonctions de transfert en z de chaque système,
puis multiplier ces fonctions de transfert en z pour obtenir la fonction de transfert échantillonnée de
l’ensemble.
EXERCICES
11.1 Calcul de la transformée en z d’un train d’impulsion
On considère un signal échantillonné s
∗ (t) défini par :
s k = 1 pour 0 k k 0 ,
s k = 0 pour k < 0 et pour k > k 0 .
Soit T e la période d’échantillonnage.
Calculer la transformée en z de ce signal.
11.2 Calcul de la transformée en z d’une sinusoïde échantillonnée
On considère un signal échantillonné s
∗ (t) résultant de l’échantillonnage, à une période T e , du signal défini
par :
s(t) = sin vt pour t > 0,
s(t) = 0 pour t < 0.
Calculer la transformée en z de ce signal.
11.3 Fonction de transfert et relation de récurrence
On considère un système échantillonné régi par la relation de récurrence suivante :
s k = 0,5e k−1 − 0.6s k−1
Calculer la fonction de transfert en z de ce système et déterminer la valeur finale de l’échantillon de sortie,
soit lim
k→+∞
s k lorsque le signal d’entrée est un échelon unité.