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11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés
L’intérêt de ce type de calculs étant assez limité, nous nous contenterons, pour obtenir l’équivalent exact
en z d’une fonction de transfert en p, d’utiliser la table d’équivalence fournie en annexe D.
Attention : Ce type de transformation, s’il permet d’obtenir une représentation temporelle qui « colle »
parfaitement à la réalité temporelle, ne fournit cependant pas un équivalent exact entre le modèle à
temps continu et le modèle à temps discret, notamment en ce qui concerne la réponse fréquentielle.
On peut également, dans le même esprit de conformité entre les réponses impulsionnelles en temps
continu et en temps discret, proposer une approche modale de l’équivalence entre fonction de transfert en
temps continu et en temps discret. Cette équivalence est basée sur la concordance des pôles entre les deux
fonctions. On utilise alors la transformation :
p − p i ↔ z − e
piTe
Toutefois, ce type d’équivalence possède l’inconvénient de ne traiter que des pôles des fonctions. Il est
souvent nécessaire d’ajuster leurs numérateurs en fonction de critères particuliers. Moins contraignant mais
tout de même important : le problème de la concordance fréquentielle des deux modèles. Les expressions
fournies en annexe D correspondent à des fonctions de transfert que l’on a systématiquement adaptées pour
que leurs gains statiques concordent.
Ainsi :
G( p) =
1
p − p i
↔ G(z) =
−
1
p i
1 − e
piTe
z − e piTe
de sorte que :
G(0) =
1
0 − p i
↔ G(1) = −
1
p i
1 − e
piTe
1 − e piTe
Pour les systèmes simples, l’équivalence à la réponse impulsionnelle et l’équivalence modale fournissent
en général, des résultats comparables.
Il est également possible de retrouver ces résultats en utilisant la propriété suivante : si g(t) est l’original
de la fonction de transfert G( p), autrement dit sa réponse impulsionnelle, alors on peut calculer la fonction
de transfert G(z) à partir de la transformée de Laplace G( p)/p de la primitive de g(t).
On a :
G(z) =
z − 1
z
× Z
G( p)
p
=
z − 1
z
× Z
g(t) dt
Attention : Dans l’expression ci-dessus, G( p)/p représente la transformée de Laplace d’un signal et
non une fonction de transfert. La technique est donc la suivante : à partir de la fonction de transfert
G( p), on cherche, dans la table de transformées de Laplace (annexe A), le signal temporel correspondant à G( p)/p. On cherche ensuite dans la table des transformées en z des signaux (annexe D), la
transformée en z de ce signal temporel. En multipliant le résultat obtenu par (z − 1) /z, on obtient la
fonction de transfert G(z). Ne pas confondre transformée en z d’un signal et fonction de transfert en z.
11.8.5 Équivalence d’une association de plusieurs systèmes
On ne peut déterminer l’équivalent G(z) d’un système de fonction de transfert en temps continu G( p) que
si ses signaux d’entrée et de sortie sont échantillonnés (figure 11.16).
Figure 11.16 Principe de l’équivalence Laplace – Z.
11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés
L’intérêt de ce type de calculs étant assez limité, nous nous contenterons, pour obtenir l’équivalent exact
en z d’une fonction de transfert en p, d’utiliser la table d’équivalence fournie en annexe D.
Attention : Ce type de transformation, s’il permet d’obtenir une représentation temporelle qui « colle »
parfaitement à la réalité temporelle, ne fournit cependant pas un équivalent exact entre le modèle à
temps continu et le modèle à temps discret, notamment en ce qui concerne la réponse fréquentielle.
On peut également, dans le même esprit de conformité entre les réponses impulsionnelles en temps
continu et en temps discret, proposer une approche modale de l’équivalence entre fonction de transfert en
temps continu et en temps discret. Cette équivalence est basée sur la concordance des pôles entre les deux
fonctions. On utilise alors la transformation :
p − p i ↔ z − e
piTe
Toutefois, ce type d’équivalence possède l’inconvénient de ne traiter que des pôles des fonctions. Il est
souvent nécessaire d’ajuster leurs numérateurs en fonction de critères particuliers. Moins contraignant mais
tout de même important : le problème de la concordance fréquentielle des deux modèles. Les expressions
fournies en annexe D correspondent à des fonctions de transfert que l’on a systématiquement adaptées pour
que leurs gains statiques concordent.
Ainsi :
G( p) =
1
p − p i
↔ G(z) =
−
1
p i
1 − e
piTe
z − e piTe
de sorte que :
G(0) =
1
0 − p i
↔ G(1) = −
1
p i
1 − e
piTe
1 − e piTe
Pour les systèmes simples, l’équivalence à la réponse impulsionnelle et l’équivalence modale fournissent
en général, des résultats comparables.
Il est également possible de retrouver ces résultats en utilisant la propriété suivante : si g(t) est l’original
de la fonction de transfert G( p), autrement dit sa réponse impulsionnelle, alors on peut calculer la fonction
de transfert G(z) à partir de la transformée de Laplace G( p)/p de la primitive de g(t).
On a :
G(z) =
z − 1
z
× Z
G( p)
p
=
z − 1
z
× Z
g(t) dt
Attention : Dans l’expression ci-dessus, G( p)/p représente la transformée de Laplace d’un signal et
non une fonction de transfert. La technique est donc la suivante : à partir de la fonction de transfert
G( p), on cherche, dans la table de transformées de Laplace (annexe A), le signal temporel correspondant à G( p)/p. On cherche ensuite dans la table des transformées en z des signaux (annexe D), la
transformée en z de ce signal temporel. En multipliant le résultat obtenu par (z − 1) /z, on obtient la
fonction de transfert G(z). Ne pas confondre transformée en z d’un signal et fonction de transfert en z.
11.8.5 Équivalence d’une association de plusieurs systèmes
On ne peut déterminer l’équivalent G(z) d’un système de fonction de transfert en temps continu G( p) que
si ses signaux d’entrée et de sortie sont échantillonnés (figure 11.16).
Figure 11.16 Principe de l’équivalence Laplace – Z.