11.8 Relations entre les modèles à temps continu et à temps discret
223
11.8.3 Équivalence à l’intégration
a) Définition
L’équivalence à l’intégration, appelée également transformation bilinéaire propose une correspondance plus
précise que l’équivalence à la dérivation. Nous mentionnons ici cette équivalence sans la justifier :
p ↔
2
1 − z
−1
T e
1 + z −1
b) Exemple
Reprenons notre système à temps continu du premier ordre de fonction de transfert en boucle ouverte G( p)
définie par :
G( p) =
K
1 + Tp
Effectuons la transformation proposée :
G(z) =
K
1 + T
2
1 − z
−1
T e
1 + z −1
=
K
1 + z
−1
1 + z −1
+
2T
T e
1 − z
−1
soit :
G(z) =
K
1 + z
−1
1 + z −1
+
2T
T e
1 − z
−1
=
K
1 + z
−1
1 +
2T
T e
+
1 −
2T
T e
z
−1
Remarque : La connaissance précise de la fréquence d’échantillonnage est toujours nécessaire pour
disposer de cette équivalence.
11.8.4 Équivalence à la réponse impulsionnelle. Équivalence modale
Il existe plusieurs méthodes permettant de déterminer des équivalents encore plus précis, en temps discret,
d’une fonction de transfert en temps continu. Une d’entre elles consiste à injecter (virtuellement, bien sûr)
un signal e(t) correspondant à une impulsion de Dirac dans le système à temps continu puis à calculer le
signal de sortie s(t). Cette opération est facilement réalisée à partir de l’équation de fonctionnement du
système à temps continu :
S( p) = G( p)E( p) = G( p)
On échantillonne alors s(t), qui n’est rien d’autre que l’original de la fonction de transfert, autrement dit on
calcule la suite d’échantillon s k qui lui correspond. Sachant que la suite e k est connue, on peut calculer les
transformées en z des deux signaux :
S(z) =
+∞
k=0
s k z
−k et E(z) = 1
On en déduit alors :
G(z) =
+∞
k=0
s k z
−k
Remarque : La plupart du temps, cette technique génère des calculs longs et fastidieux qui sont susceptibles de faire appel à des outils mathématiques sophistiqués : intégrale de Mellin-Fourier, théorème
des résidus, etc.