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11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés
Comparons à présent les courbes de réponse fréquentielle de ces deux systèmes. À titre exceptionnel,
nous tracerons le gain fréquentiel du système à temps continu G( p), non pas sur un diagramme de Bode,
mais sur un diagramme à coordonnées cartésiennes linéaires afin de pouvoir comparer directement les deux
courbes.
Pour le modèle à temps continu, on a :
G(v) = |G( jv) =|
K
√
1 + T 2 v 2
Traçons cette courbe en pointillés sur la figure 11.15. Rappelons qu’une inflexion se produit à la fréquence
f = 1/2pT et notons, par ailleurs, que :
G (0) = K
G
f e
2
=
K
1 + 4p 2 T 2 f
2
e
Pour le modèle à temps discret, on a :
G(v) =
K
1 +
T
T e
−
T
T e
e
− jvTe
=
K
1 +
T
T e
2
+
T
T e
2
−
2T
T e
1 +
T
T e
cos vT e
Notons que :
G
f e
2
=
K
1 +
2T
T e
2
=
K
1 +
2T
T e
=
K
1 + 2Tf e
(cette valeur est nettement supérieure à celle fournie par le modèle à temps continu)
et que :
G(0) =
K
1 +
T
T e
2
+
T
T e
2
−
2T
T e
1 +
T
T e
= K
(cette valeur est identique à celle fournie par le modèle à temps continu).
Traçons (en trait plein) la courbe représentative du gain du système à temps discret sur la même figure.
La conclusion est évidente : les deux courbes coïncident aux basses fréquences mais l’équivalence proposée
devient de moins en moins précise au fur et à mesure où l’on se rapproche de f e /2.
Remarque : Rappelons que la courbe de réponse d’un système à temps discret n’a de sens que sur
l’intervalle
0,
f e
2
.
Figure 11.15 Comparaison des deux modèles.