11.7 Comportement fréquentiel des systèmes echantillonnés
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11.7 COMPORTEMENT FRÉQUENTIEL DES SYSTÈMES ECHANTILLONNÉS
11.7.1 Principes généraux
Considérons un système de fonction de transfert en z égale à G(z) sollicité par un signal d’entrée possédant
une transformée en z, E(z) et délivrant un signal de sortie de transformée en z, S(z) (figure 11.12).
Figure 11.12 Schéma général d’un système échantillonné.
Le système est régi par l’équation :
S(z) = G(z)E(z)
En posant z = e
jvTe , on obtient :
S(e
jvTe ) = G(e
jvTe )E(e
jvTe )
Les termes E(e
jvTe ) et S(e
jvTe ) représentent respectivement les transformées de Fourier à temps discret des
signaux d’entrée et de sortie. Par conséquent, G(e
jvTe ) représente le comportement fréquentiel du système :
il s’agit de sa fonction de transfert en fréquence.
Comme pour les systèmes continus, ce comportement peut être représenté graphiquement, par exemple
sous forme de diagramme de gain.
La fonction G(v) =
G(e
jvTe )
correspond, notamment, au gain réel du système en fonction de la
pulsation v. On prendra soin, toutefois, de toujours limiter le tracé à l’intervalle
0, f e /2
, afin de respecter
le théorème de Shannon : l’expression trouvée n’a en effet aucun sens au delà de f e /2.
11.7.2 Exemple
On considère un système échantillonné régi par la relation de récurrence :
s k =
1
2
e k + s k−1
En appliquant la transformée en z à cette équation, on obtient :
S(z) =
1
2
E(z) + z
−1 S(z)
d’où :
G(z) =
S(z)
E(z)
=
0,5
1 − 0,5z −1
soit :
G(v) =
0,5
1 − 0,5 e − jvTe
=
0,5
|1 − 0,5 (cos vT e − j sin vT e )|
G(v) =
0,5
(1 − 0,5 cos vT e )
2 + 0,25 sin
2 vT e
Finalement :
G(v) =
0,5
√
1,25 − cos vT e