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11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés
Calculons à présent le spectre du signal :
|s( f )| =
e
jvTe
e jvTe − e −Te
=
1
|(cos vT e − cos T e ) + j (sin vT e + sin T e )|
|s( f )| =
1
(cos vT e − cos T e )
2 + (sin vT e + sin T e )
2
|s( f )| =
1
√
2 − 2 cos vT e cos T e + 2 sin vT e sin T e
|s( f )| =
1
√
2 − 2 cos (v + 1) T e
=
1
2
2 sin
2 (v + 1) T e
2
|s( f )| =
1
2
sin
(v + 1) T e
2
=
1
2
sin
(2p f + 1)
2 f e
Nous pouvons tracer ce spectre, en prenant soin de se souvenir que le signal a obligatoirement été échantillonné en respectant le théorème de Shannon, autrement dit en considérant que le signal original possède
une largeur spectrale B < f e /2. On tracera donc ce spectre pour 0 f f e /2.
Comme :
1
2 f e
(2p f + 1)
2 f e
p
2
+
1
2 f e
,
on a :
|s( f )| =
1
2 sin
(2p f + 1)
2 f e
Si f e est suffisamment grande, il s’agit d’un spectre qui décroît de s max =
1
2 sin
1
2 f e
≈ f e jusqu’à environ 1/2 (voir figure 11.11).
En réalité, le spectre possède un minimum pour
(2p f + 1)
2 f e
=
p
2
, autrement dit pour une fréquence déjà
très élevée et voisine de f e /2.
Figure 11.11 Spectre du signal.