11.6 Transformée de Fourier à temps discret
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On en déduit immédiatement :
G(z) =
S(z)
E(z)
=
a 0
1 −
q
j=1
b i z
− j
=
a 0
1 − b 1 z −1 − b 2 z −2 − · · · − b q z −q
11.6 TRANSFORMÉE DE FOURIER À TEMPS DISCRET
11.6.1 Définition
Soit s(t) un signal continu quelconque que l’on échantillonne à une fréquence f e (soit une période T e ), en
respectant, bien évidemment, le théorème de Shannon. Soit S(z) sa transformée en z.
Rappelons que :
S
∗ ( p) =
n
k=0
s k e
− pkTe
et que la transformée en z a été obtenue en posant z = e
pTe :
S(z) =
n
k=0
s k z
−k
Exactement comme nous pouvons calculer la transformée de Fourier d’un signal à temps continu en posant p = jv (à condition qu’il soit à énergie finie, rappelons-le), nous pouvons tout autant poser e
pTe = e
jvTe
à condition, bien sûr, que la somme, ainsi transformée, converge vers une valeur finie, ce que nous supposerons. On obtient alors :
S
∗ ( jv) =
n
k=0
s k e
− jvkTe
ou encore :
s( f ) =
n
k=0
s k e
− j2pk f /fe
La fonction s( f ) est appelée transformée de Fourier à temps discret du signal s k . Son module représente,
bien sûr, le spectre du signal échantillonné.
11.6.2 Exemple
Soit s(t) le signal défini par s(t) = e
−t pour t 0. La transformée en z de ce signal, échantillonné à la
fréquence f e a pour expression :
S(z) =
z
z − e −Te
Posons :
z = e
jvTe
On obtient :
s( f ) =
e
jvTe
e jvTe − e −Te