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11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés
soit :
S(z)
⎡
⎣ 1 −
q
j=1
b j z
− j
⎤
⎦ = E(z)
p
i=−m
a i z
−i
En posant :
G(z) =
S(z)
E(z)
=
p
i=−m
a i z
−i
1 −
q
j=1
b j z
− j
,
on définit la fonction de transfert en z, G(z) du système.
Remarque : Pour obtenir rapidement la fonction de transfert en z à partir d’une équation MA ou
ARMA, il suffit de remplacer chaque e k−i et chaque s k−j respectivement par z
−i E(z) et z
− j S(z).
L’équation s k =
p
i=−m
a i e k−i +
q
j=1
b j s k−j donne donc immédiatement :
S(z) =
p
i=−m
a i z
−i E(z) +
q
j=1
b j z
− j S(z)
11.5.3 Exemples de fonctions de transfert en z
a) Système MA en temps réel d’ordre p
On considère un système régi par l’équation :
s k =
p
i=0
a i e k−i
Appliquons la transformation en z à chacun des membres :
S(z) =
p
i=0
a i z
−i E(z)
On en déduit immédiatement :
G(z) =
S(z)
E(z)
=
p
i=0
a i z
−i = a 0 + a 1 z
−1 + a 2 z
−2 + · · · + a p z
− p
b) Système AR en temps réel d’ordre q
On considère un système régi par l’équation :
s k = a 0 e k +
q
j=1
b j s k−j
Appliquons la transformation en z à chacun des membres :
S(z) = a 0 E(z) +
q
j=1
b j z
− j S(z)