11.5 Fonction de transfert en z
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11.5.2 Définition de la fonction de transfert en z
Considérons un système régi par une équation de type ARMA. Soit E (z) la transformée en z du signal
d’entrée et S (z) celle du signal de sortie.
Rappelons que :
S(z) =
n
k=0
s k z
−k
et :
E(z) =
n
k=0
e k z
−k
Il est possible d’appliquer la transformation en z à l’expression :
s k =
p
i=−m
a i e k−i +
q
j=1
b j s k−j
Cela revient à multiplier s k par z
−k et à sommer pour k variant de 0 à n :
S(z) =
n
k=0
s k z
−k =
n
k=0
⎛
⎝
p
i=−m
a i e k−i +
q
j=1
b j s k−j
⎞
⎠ z
−k
S(z) =
n
k=0
⎛
⎝ z
−k
p
i=−m
a i e k−i + z
−k
q
j=1
b j s k−j
⎞
⎠
S(z) =
n
k=0
⎛
⎝
p
i=−m
a i e k−i z
k +
q
j=1
b j s k−j z
−k
⎞
⎠
Les sommes étant indépendantes, elles peuvent être permutées :
S(z) =
p
i=−m
a i
n
k=0
e k−i z
k
+
q
j=1
b j
n
k=0
s k−j z
−k
Regardons d’un peu plus près le terme
n
k=0
e k−i z
k .
Il s’agit de la transformée en z du signal d’entrée retardé de i échantillons.
Par conséquent :
n
k=0
e k−i z
k = z
−i
n
k=0
e k z
k = z
−i E(z)
De même :
n
k=0
s k−j z
k = z
− j
n
k=0
s k z
k = z
− j S(z)
On en déduit donc :
S(z) =
p
i=−m
a i z
−i E(z) +
q
j=1
b j z
− j S(z)