11.5 Fonction de transfert en z
213
c) Rampe unité
La rampe unité en temps continu est définie par :
v (t) = t pour t 0
En remarquant que v (t) = t · u(t) et en utilisant la propriété étudiée précédemment, on obtient :
V(z) = −zT e
dU(z)
dz
= −zT e
d
dz
z
z − 1
soit :
V(z) = −zT e
(z − 1) − z
(z − 1)
2
d’où :
V(z) =
zT e
(z − 1)
2
d) Exponentielle décroissante
Soit s(t) le signal défini par s(t) = e
−at pour t 0. La transformée en z de ce signal a pour expression :
S(z) =
+∞
k=0
e
−akTe z
−k =
+∞
k=0
e
aTe
−k z
−k =
+∞
k=0
1
e aTe z
k
S(z) =
1
1 −
1
e aTe z
=
e
aTe z
e aTe z − 1
=
z
z − e −aTe
11.4.5 Calculs de transformées en z à l’aide de Mathematica
Les commandes ZTransform et InverseZTransform de Mathematica correspondent respectivement au calcul
de la transformée en z et de sa transformée inverse. Les syntaxes sont les suivantes :
Ztransform [f (k) ,k,z ]
InverseZTransform [f (z) ,z,k ]
Exemple
Soit f (k) = ak, un signal en rampe.
La commande Ztransform[a × k,k,z ] fournit le résultat :
az
(z − 1)
2
.
À l’inverse, la commande InverseZTransform
az/ (z − 1)
2 ,z,k
donne : ak.
11.5 FONCTION DE TRANSFERT EN Z
11.5.1 Relations entre échantillons de sortie et échantillons d’entrée
On considère un système de traitement numérique à l’entrée duquel on injecte un signal échantillonné
représenté par une suite de nombres e k . Soit s k la suite obtenue à la sortie du système (figure 11.10).
Il convient d’insister ici, sur le fait que ces séries de nombres correspondent à une description temporelle
des signaux : e k = e(kT e ). Il paraît donc naturel, a priori, pour décrire le fonctionnement du système,
d’exprimer l’échantillon de sortie s k à un instant quelconque kT e en fonction, par exemple, des échantillons
d’entrée.