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11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés
b) Théorème du retard
Soit s(t) un signal quelconque possédant une transformée en z, S(z) et soit x(t) = s(t − aT e ) correspondant
au même signal retardé d’un temps aT e . La transformée en z de s(t − aT e ) est égale à :
X(z) = z
−a S(z)
c) Théorème de la valeur finale
Soit s(t) un signal quelconque possédant une transformée en z, S(z). Soit (s k ) la suite échantillonnée correspondant au signal s(t). Le théorème de la valeur finale permet de connaître la valeur vers laquelle tend la
suite (s k ) lorsque k → +∞, autrement dit lorsque t → +∞.
lim
k→+∞
s k = lim
z→1
1 − z
−1
S(z)
d) Multiplication par le temps
Soit s(t) un signal quelconque possédant une transformée en z, S(z). Soit x(t) le signal défini par x(t) = t·s(t).
Alors :
X(z) = −zT e
dS(z)
dz
e) Changement d’échelle
Soit s(t) un signal quelconque possédant une transformée en z, S(z). Soit (s k ) la suite échantillonnée correspondant au signal s(t). Soit (x k ) la suite d’échantillons définie par :
x k = a
k s k avec a = 0
Le signal x(t) correspondant à la suite (x k ) possède une transformée en z telle que :
X(z) = S
z
a
11.4.4 Transformée en z de signaux usuels
a) Impulsion unité
L’impulsion unité étant définie par :
d k = 1 pour k = 0
d k = 0 pour k = 0
On a :
D(z) =
+∞
k=0
d k z
−k = z
0 = 1
b) Échelon unité
L’échelon unité étant défini par :
u k = 1 pour k 0
On a :
U(z) =
+∞
k=0
z
−k =
+∞
k=0
1
z
k
=
1
1 −
1
z
=
1
1 − z −1 =
z
z − 1