11.4 Transformée en z des signaux échantillonnés
211
avec :
D
∗
0 ( p) =
+∞
0
d
∗
0 (t) e
− pt dt
Nous ne pouvons calculer cette intégrale directement. Aussi admettrons nous le résultat :
D
∗
0 ( p) = 1
Il vient alors :
D
∗
k ( p) = e
− pkTe
d’où :
S
∗ ( p) =
n
k=0
s k e
− pkTe
Remarque : Certains auteurs proposent une sommation de moins l’infini à plus l’infini. Dans le cas
des signaux causaux que nous étudions (signal nul pour t négatif), nous nous contenterons de cette
expression.
En posant z = e
pTe , on définit la transformée en z du signal s(t) par :
S(z) =
n
k=0
s k z
−k
La transformation en z peut être notée :
s(t) → Z(s)
La transformée en z d’un signal n’existe, bien évidemment, que si la somme qui la définit converge. On
peut montrer que ce domaine de convergence est de la forme |z| > r avec r ∈ R. Dorénavant, nous ne nous
intéresserons qu’à des signaux pour lesquels on peut effectivement définir une transformée en z.
11.4.2 Intérêt de la transformée en z
Nous allons retrouver avec la transformée en z, le même intérêt que celui que nous avions trouvé à la transformée de Laplace pour les signaux à temps continu. Lorsque nous saurons modéliser le fonctionnement
d’un système numérique par une fonction de transfert en z, nous disposerons d’un outil complet permettant
de décrire, donc d’étudier leur fonctionnement.
Tout comme l’on écrivait :
S( p) = G( p)E( p),
on écrira alors :
S(z) = G(z)E(z)
Ce formalisme, qui peut paraître quelque peu ésotérique au départ n’est rien d’autre que la méthode de
modélisation, donc de description, des signaux et systèmes échantillonnés.
11.4.3 Propriétés de la transformée en z
a) Linéarité
Soit s 1 (t) et s 2 (t) deux signaux quelconques possédant chacun une transformée en z, S 1 (z) et S 2 (z). La
transformée en z d’une combinaison linéaire ls 1 (t)+ms 2 (t) de ces deux fonctions est égale à lS 1 (z)+mS 2 (z).
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avec :
D
∗
0 ( p) =
+∞
0
d
∗
0 (t) e
− pt dt
Nous ne pouvons calculer cette intégrale directement. Aussi admettrons nous le résultat :
D
∗
0 ( p) = 1
Il vient alors :
D
∗
k ( p) = e
− pkTe
d’où :
S
∗ ( p) =
n
k=0
s k e
− pkTe
Remarque : Certains auteurs proposent une sommation de moins l’infini à plus l’infini. Dans le cas
des signaux causaux que nous étudions (signal nul pour t négatif), nous nous contenterons de cette
expression.
En posant z = e
pTe , on définit la transformée en z du signal s(t) par :
S(z) =
n
k=0
s k z
−k
La transformation en z peut être notée :
s(t) → Z(s)
La transformée en z d’un signal n’existe, bien évidemment, que si la somme qui la définit converge. On
peut montrer que ce domaine de convergence est de la forme |z| > r avec r ∈ R. Dorénavant, nous ne nous
intéresserons qu’à des signaux pour lesquels on peut effectivement définir une transformée en z.
11.4.2 Intérêt de la transformée en z
Nous allons retrouver avec la transformée en z, le même intérêt que celui que nous avions trouvé à la transformée de Laplace pour les signaux à temps continu. Lorsque nous saurons modéliser le fonctionnement
d’un système numérique par une fonction de transfert en z, nous disposerons d’un outil complet permettant
de décrire, donc d’étudier leur fonctionnement.
Tout comme l’on écrivait :
S( p) = G( p)E( p),
on écrira alors :
S(z) = G(z)E(z)
Ce formalisme, qui peut paraître quelque peu ésotérique au départ n’est rien d’autre que la méthode de
modélisation, donc de description, des signaux et systèmes échantillonnés.
11.4.3 Propriétés de la transformée en z
a) Linéarité
Soit s 1 (t) et s 2 (t) deux signaux quelconques possédant chacun une transformée en z, S 1 (z) et S 2 (z). La
transformée en z d’une combinaison linéaire ls 1 (t)+ms 2 (t) de ces deux fonctions est égale à lS 1 (z)+mS 2 (z).