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11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés
11.4 TRANSFORMÉE EN Z DES SIGNAUX ÉCHANTILLONNÉS
11.4.1 Définition
Soit s(t) un signal continu quelconque que l’on échantillonne à une fréquence f e (soit une période T e ), en
respectant, bien évidemment, le théorème de Shannon.
On a :
s
∗ (t) = {s 0 , s 1 , s 2 , . . . , s n }
avec :
s i = s (iT e )
ou encore :
s(k) = {s 0 , s 1 , s 2 , . . . , s n }
Cette suite n’est rien d’autre que la somme d’impulsions unités décalées dans le temps et multipliées,
chacune, par le coefficient s k :
s
∗ (t) = s 0 d
∗ (t) + s 1 d
∗ (t − T e ) + s 2 d
∗ (t − 2T e ) + ...
soit :
s
∗ (t) =
n
k=0
s k d
∗ (t − kT e )
d’où :
s
∗ (t) =
n
k=0
s k d k
Toute la modélisation des signaux que nous avons utilisée, dès les premières pages de cet ouvrage, faisait
appel à la transformation de Laplace. Nous pouvons toujours calculer la transformée de Laplace de s
∗ (t) :
S
∗ ( p) =
n
k=0
s k D
∗
k ( p)
Dans cette expression, D
∗
k ( p) représente la transformée de Laplace d’une impulsion unité à l’instant kT e ,
représentée sur la figure 11.9.
Figure 11.9 Impulsion unité à l’instant k.
Par définition :
D
∗
k ( p) =
+∞
0
d
∗
k (t) e
− pt dt
En appliquant le théorème du retard et en nommant D
∗
0 ( p) la transformée de Laplace de l’impulsion unité
en 0, on a :
D
∗
k ( p) = D
∗
0 ( p) e
− pkTe