208
11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés
11.2.3 Théorème de Shannon
À partir du spectre du signal échantillonné représenté sur la figure 11.5, il est possible de mettre en évidence
l’un des résultats les plus fondamentaux de l’étude des signaux échantillonnés. Un des objectifs essentiels
de l’échantillonnage consiste à ne pas perdre d’information lors de la discrétisation dans le temps, ce qui
peut se traduire par le fait qu’il doit être possible, à partir du spectre du signal échantillonné, de reconstituer
simplement celui du signal original. Un simple coup d’œil au spectre |S
∗ ( f )| nous montre que cela est
possible s’il n’existe aucun recouvrement entre les différents segments de spectre.
Figure 11.6 Spectre d’un signal échantillonné.
Si B est la largeur spectrale du signal s(t), autrement dit sa limite fréquentielle supérieure, le premier
segment décalé, dans le spectre de s
∗ (t), qui se trouve centré sur la fréquence f e , s’étend de f e − B à f e + B.
La condition de non recouvrement est donc, de toute évidence :
B < f e − B
soit :
f e > 2B
Cette inégalité constitue le théorème de Shannon qui peut également s’énoncer de la manière suivante :
Pour préserver, lors de son échantillonnage, l’information contenue dans un signal, la fréquence
d’échantillonnage f e doit être supérieure au double de la largeur spectrale du signal.
11.3 EXEMPLES DE SIGNAUX ÉCHANTILLONNÉS SIMPLES
11.3.1 Impulsion unité
On définit l’impulsion unité échantillonnée par le signal :
d
∗ (t) = {1, 0, 0, . . . , 0}
autrement dit :
⎧
⎨
⎩
d
∗ (nT e ) = 1 pour n = 0
d
∗ (nT e ) = 0 pour n = 0
Remarque : Nous considérerons comme nuls pour t négatif, tous les signaux que nous étudierons.
La figure 11.7 propose une représentation schématique de cette impulsion unité.
11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés
11.2.3 Théorème de Shannon
À partir du spectre du signal échantillonné représenté sur la figure 11.5, il est possible de mettre en évidence
l’un des résultats les plus fondamentaux de l’étude des signaux échantillonnés. Un des objectifs essentiels
de l’échantillonnage consiste à ne pas perdre d’information lors de la discrétisation dans le temps, ce qui
peut se traduire par le fait qu’il doit être possible, à partir du spectre du signal échantillonné, de reconstituer
simplement celui du signal original. Un simple coup d’œil au spectre |S
∗ ( f )| nous montre que cela est
possible s’il n’existe aucun recouvrement entre les différents segments de spectre.
Figure 11.6 Spectre d’un signal échantillonné.
Si B est la largeur spectrale du signal s(t), autrement dit sa limite fréquentielle supérieure, le premier
segment décalé, dans le spectre de s
∗ (t), qui se trouve centré sur la fréquence f e , s’étend de f e − B à f e + B.
La condition de non recouvrement est donc, de toute évidence :
B < f e − B
soit :
f e > 2B
Cette inégalité constitue le théorème de Shannon qui peut également s’énoncer de la manière suivante :
Pour préserver, lors de son échantillonnage, l’information contenue dans un signal, la fréquence
d’échantillonnage f e doit être supérieure au double de la largeur spectrale du signal.
11.3 EXEMPLES DE SIGNAUX ÉCHANTILLONNÉS SIMPLES
11.3.1 Impulsion unité
On définit l’impulsion unité échantillonnée par le signal :
d
∗ (t) = {1, 0, 0, . . . , 0}
autrement dit :
⎧
⎨
⎩
d
∗ (nT e ) = 1 pour n = 0
d
∗ (nT e ) = 0 pour n = 0
Remarque : Nous considérerons comme nuls pour t négatif, tous les signaux que nous étudierons.
La figure 11.7 propose une représentation schématique de cette impulsion unité.