11.2 Principes fondamentaux de l’échantillonnage des signaux
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Remarque : En toute logique, cette suite ne correspond pas encore à des valeurs numériques. Ce signal
échantillonné est un signal analogique à temps discret. Toutefois, on notera de la même manière la suite
numérique obtenue après conversion analogique numérique.
11.2.2 Spectre d’un signal échantillonné
Supposons qu’un signal s(t) à échantillonner soit à énergie finie et possède, par conséquent, une transformée
de Fourier :
S( f ) =
+∞
0
s(t) e
− jvt dt avec v = 2p f
Calculons alors la transformée de Fourier S
∗ ( f ) du signal échantillonné s
∗ (t). Le signal p(t) étant périodique,
il possède une décomposition en série de Fourier que nous pouvons écrire, sans la calculer :
p(t) =
+∞
n=−∞
A n e
jnVet avec V e = 2p/T e
On a alors :
s
∗ (t) = s(t)p(t) = s(t)
+∞
n=−∞
A n e
jnVet
d’où :
S
∗ ( f ) =
+∞
−∞
s(t)
+∞
n=−∞
A n e
jnVet
e
− jvt dt
S
∗ ( f ) =
+∞
n=−∞
A n
+∞
−∞
s(t) e
jnVet e
− jvt dt
S
∗ ( f ) =
+∞
n=−∞
A n
+∞
−∞
s(t) e
− j(v−nVe)t dt
soit :
S
∗ ( f ) =
+∞
n=−∞
[A n S (f − nf e )] avec f e = V e /2p = 1/T e
La transformée de Fourier du signal échantillonné apparaît donc comme une superposition des transformées
de Fourier de s(t) aux points f −n f e , f e étant la fréquence d’échantillonnage choisie. Pour n = 0, on retrouve
le spectre |S( f )| du signal initial. Pour n non nul, on retrouve ce même spectre, mais décalé, par rapport à
|S( f )| de n f e avec n ∈ Z. On dit aussi que S( f ) est périodique de fréquence f e . La figure 11.5 présente les
spectres comparés de s(t) et de s
∗ (t).
Figure 11.5 Spectre d’un signal échantillonné.