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1 • Modélisation des systèmes linéaires. Notion de fonction de transfert
d’où :
f (t − t) → F( p) e
− pt
Cette relation constitue le théorème du retard qui permet de calculer la transformée de Laplace d’une fonction retardée d’un temps t si l’on connaît la transformée de Laplace de la fonction non retardée.
f) Théorème de la valeur initiale
Considérons la transformée de Laplace F( p) d’une fonction f (t) :
F( p) =
+∞
0
f (t) e
− pt dt
La transformée de Laplace de la dérivée de f(t) est :
df
dt
→
+∞
0
f
(t) e
− pt dt = pF( p) − f (0)
Lorsque p → +∞, on a e
− pt
→ 0, donc : pF( p) − f (0) → 0
Nous retiendrons :
f (0
+ ) = lim
p→+∞
[pF( p)]
Ceci constitue le théorème de la valeur initiale qui permet d’obtenir une expression de la valeur de f au
voisinage de 0 par valeur supérieure en fonction de sa transformée de Laplace.
g) Théorème de la valeur finale
Encore plus utile que le théorème précédent, le théorème de la valeur finale permet de calculer la limite
quand t tend vers l’infini d’une fonction temporelle f (t) en connaissant uniquement sa transformée de Laplace :
lim
t→+∞
[f (t)] = lim
p→0
[pF( p)]
h) Propriétés diverses
Sans être fondamentales, les trois propriétés suivantes peuvent s’avérer utiles lors du calcul de certaines
transformées de Laplace :
e
−at f (t) → F( p + a)
tf (t) → −
dF
dp
f (t)
t
→
+∞
0
F( p) dp
1.4.3 Transformée de Laplace inverse
De même qu’une fonction du temps peut avoir une transformée de Laplace, il est possible à partir d’une
fonction F( p) de retrouver son original, autrement dit la fonction f (t) dont elle est la transformée de Laplace.
Il s’agit ici de calculer une intégrale dans le plan complexe :
Si :
f (t) → F( p)
alors :
f (t) =
c+j∞
c−j∞
F( p) e
pt dp