1.4 La transformation de Laplace
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Remarque : Dans le cas où la condition initiale P(0) est nulle, ce qui est a priori très souvent le cas,
on peut retenir simplement la relation suivante :
P(t) =
f (t) dt →
F( p)
p
d) Propriétés de changement d’échelle
f (kt) →
1
k
F
p
k
;
f
t
k
→ kF (p)
Remarque : On veillera à ne pas confondre ces deux propriétés avec la linéarité de la transformation
de Laplace.
e) Théorème du retard
Considérons la fonction f (t − t), autrement dit la fonction f (t) à laquelle on a fait subir un changement
d’origine des temps (figure 1.3), autrement dit un retard d’un temps t.
Figure 1.3 Représentation temporelle d’un signal retardé.
Calculons la transformée de Laplace de cette fonction.
On a :
f (t) → F( p) =
+∞
0
f (t) e
− pt dt
Effectuons dans cette intégrale le changement de variable u = t + t :
F( p) =
+∞
t
f (u − t) e
− p(u−t) du
En remarquant que la fonction f (u − t) est nulle pour t < t, on peut, sans changer la valeur de l’intégrale,
lui choisir une borne d’intégration inférieure plus faible que t :
F( p) =
+∞
0
f (u − t) e
− p(u−t) du
F( p) =
+∞
0
e
pt f (u − t) e
− pu du
F( p) = e
pt
+∞
0
f (u − t) e
− pu du
Par définition,
+∞
0
f (u − t) e
− pu du est la transformée de Laplace de f (t − t).