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1 • Modélisation des systèmes linéaires. Notion de fonction de transfert
Remarque : Nous verrons plus loin que la connaissance de ces quelques propriétés d’une part et d’une
dizaine de transformées de Laplace usuelles, d’autre part, permet de déduire pratiquement n’importe
quelle transformée de Laplace.
a) Linéarité
La linéarité de la transformation de Laplace résulte naturellement de la linéarité de l’intégration. Il s’agit
là, malgré des apparences de simplicité, d’une des propriétés les plus importantes :
L [af + bg] = aL [f ] + bL [g]
En particulier :
L [f + g] = L [f ] + L [g]
et :
L [kf ] = kL [f ]
b) Transformée de Laplace d’une dérivée
Soit f (t) une fonction du temps. Soit F( p) sa transformée de Laplace. On montre que la transformée de
Laplace de sa dérivée première se calcule simplement en fonction de F( p) :
df
dt
→ pF( p) − f (0)
De même, la transformée de Laplace de sa dérivée n-ième est :
d
n f
dt n → p
n F( p) −
2n
k=n+1
p
2n−k d
k−n−1 f
dt k−n−1 (0)
Par exemple :
d
2 f
dt 2 → p
2 F( p) − pf (0) − f
(0)
Une première constatation s’impose en observant ces expressions : la transformation de Laplace transforme
l’opérateur dérivation en un opérateur arithmétique. Il faut noter que l’on retrouve dans ces expressions les
conditions initiales, c’est-à-dire les valeurs en t = 0 des dérivées successives d’ordres inférieurs à l’ordre
de dérivation considéré.
Remarque : Dans le cas où ces conditions initiales sont nulles, ce qui est a priori très souvent le cas,
on peut retenir simplement les relations suivantes :
df
dt
→ pF( p)
;
d
n f
dt n → p
n F( p)
c) Transformée de Laplace d’une primitive
Soit P(t) une primitive d’une fonction f (t) et F( p) la transformée de Laplace de cette fonction. On a :
P(t) =
f (t) dt →
F( p)
p
+
P(0)
p
Là encore, l’opérateur intégration se trouve changé en un opérateur arithmétique dans l’espace des transformées de Laplace.