1.3 Le cas des systèmes linéaires
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1.3
LE CAS DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Considérons un système et un signal d’entrée e(t) qui est une combinaison linéaire de n signaux :
e(t) = l 1 e 1 (t) + l 2 e 2 (t) + · · · + l n e n (t)
On définira comme système linéaire tout système qui conserve au niveau de sa sortie la combinaison linéaire
d’entrée, chaque s i (t) étant la sortie correspondant à e i (t).
s(t) = l 1 s 1 (t) + l 2 s 2 (t) + · · · + l n s n (t)
La plupart du temps, ces systèmes sont régis par des équations différentielles à coefficients constants.
Soit e(t) le signal d’entrée, s(t) le signal de sortie. L’équation générale d’un système linéaire s’écrit de
la manière suivante :
a n
d
n s
dt n + a n−1
d
n−1 s
dt n−1 + · · · + a 1
ds
dt
+ a 0 s(t) = b m
d
m e
dt m + b m−1
d
m−1 e
dt m−1 + · · · + b 1
de
dt
+ be(t)
Ces systèmes conservent toutes les opérations linéaires (dérivation, intégration, ...). Le plus grand des deux
indices n et m est appelé ordre du système.
Lorsque le système est effectivement excité par un signal e(t), cette équation différentielle possède
effectivement un second membre. Si le système est libre et isolé, le second membre est nul.
Remarque : Nous ne nous intéresserons, dans les parties 1 et 2 de ce livre, qu’aux systèmes linéaires
et aux signaux temporels continus ; les notions qui suivent ne s’appliquent donc qu’à de tels systèmes,
dits linéaires à temps continu.
1.4
LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
1.4.1 Définition
Considérant une fonction réelle d’une variable réelle s(t) telle que s(t) = 0 pour t < 0, on définit sa
transformée de Laplace L(s) comme la fonction S de la variable complexe p telle que :
S( p) =
+∞
0
s(t) e
− pt dt
La fonction S(p) est une fonction complexe d’une variable complexe p (avec p = t + jv).
La transformée de Laplace d’une fonction s(t) n’existe pas dans tous les cas : il est nécessaire que
l’intégrale ci-dessus converge. On démontre que cette convergence est vérifiée si la partie réelle t de la
variable p est supérieure à une valeur donnée a appelée seuil de convergence.
D’une manière plus générale, la transformation de Laplace est une application de l’espace des fonctions
du temps (nulles pour t < 0) vers l’espace des fonctions complexes d’une variable complexe. La fonction
s(t) s’appelle l’original de S(p), ou encore sa transformée inverse.
1.4.2 Propriétés fondamentales de la transformation de Laplace
Les propriétés qui suivent sont fondamentales car elles permettent de calculer facilement (sans utiliser la
définition de la transformation de Laplace) les transformées de Laplace de certains signaux.
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1.3
LE CAS DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Considérons un système et un signal d’entrée e(t) qui est une combinaison linéaire de n signaux :
e(t) = l 1 e 1 (t) + l 2 e 2 (t) + · · · + l n e n (t)
On définira comme système linéaire tout système qui conserve au niveau de sa sortie la combinaison linéaire
d’entrée, chaque s i (t) étant la sortie correspondant à e i (t).
s(t) = l 1 s 1 (t) + l 2 s 2 (t) + · · · + l n s n (t)
La plupart du temps, ces systèmes sont régis par des équations différentielles à coefficients constants.
Soit e(t) le signal d’entrée, s(t) le signal de sortie. L’équation générale d’un système linéaire s’écrit de
la manière suivante :
a n
d
n s
dt n + a n−1
d
n−1 s
dt n−1 + · · · + a 1
ds
dt
+ a 0 s(t) = b m
d
m e
dt m + b m−1
d
m−1 e
dt m−1 + · · · + b 1
de
dt
+ be(t)
Ces systèmes conservent toutes les opérations linéaires (dérivation, intégration, ...). Le plus grand des deux
indices n et m est appelé ordre du système.
Lorsque le système est effectivement excité par un signal e(t), cette équation différentielle possède
effectivement un second membre. Si le système est libre et isolé, le second membre est nul.
Remarque : Nous ne nous intéresserons, dans les parties 1 et 2 de ce livre, qu’aux systèmes linéaires
et aux signaux temporels continus ; les notions qui suivent ne s’appliquent donc qu’à de tels systèmes,
dits linéaires à temps continu.
1.4
LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
1.4.1 Définition
Considérant une fonction réelle d’une variable réelle s(t) telle que s(t) = 0 pour t < 0, on définit sa
transformée de Laplace L(s) comme la fonction S de la variable complexe p telle que :
S( p) =
+∞
0
s(t) e
− pt dt
La fonction S(p) est une fonction complexe d’une variable complexe p (avec p = t + jv).
La transformée de Laplace d’une fonction s(t) n’existe pas dans tous les cas : il est nécessaire que
l’intégrale ci-dessus converge. On démontre que cette convergence est vérifiée si la partie réelle t de la
variable p est supérieure à une valeur donnée a appelée seuil de convergence.
D’une manière plus générale, la transformation de Laplace est une application de l’espace des fonctions
du temps (nulles pour t < 0) vers l’espace des fonctions complexes d’une variable complexe. La fonction
s(t) s’appelle l’original de S(p), ou encore sa transformée inverse.
1.4.2 Propriétés fondamentales de la transformation de Laplace
Les propriétés qui suivent sont fondamentales car elles permettent de calculer facilement (sans utiliser la
définition de la transformation de Laplace) les transformées de Laplace de certains signaux.