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10 • Méthodes d’étude des asservissements continus non linéaires
d’où la condition de stabilité :
K <
T1 + T2
kT1T2
10.2 Inspirons-nous de l’exemple traité dans le cours. Décomposons le système linéaire pour faire apparaître ses
variables de phase et insérons l’élément non linéaire (figure 10.16).
Figure 10.16 Schéma équivalent du système.
Les équations mises en évidence pour le système linéaire au paragraphe 10.3.2 restent valables à conditions de changer
´ en z.
On a :
˙
x = y et ˙
y = z − y
soit :
dy
dx
=
z − y
y
Par conséquent :
dy
dx
= l ⇒
z − y
y
= l
Pour tracer les isoclines, il est nécessaire de discuter de leur forme en fonction de la valeur de x. En effet, cette valeur
influe directement sur l’écart ´, puisque ´ = −x.
Si x < −D, on a :
z = −x − D ⇒
dy
dx
=
−x − D − y
y
Les isoclines sont donc définies par :
y = −
x + D
1 + l
Si x > D, on a :
z = −x + D ⇒
dy
dx
=
−x + D − y
y
Les isoclines sont donc définies par :
y = −
x − D
1 + l
Si −D < x < D, on a :
z = 0 ⇒
dy
dx
= −1
Les isoclines sont donc définies par :
y = −
x − D
1 + l
Rassemblons les différents cas sur la figure 10.17. Tout se passe comme si les isoclines du système linéaire avaient été
écartées d’une distance correspondant à la zone de seuil. Dans cette zone, les trajectoires ont systématiquement une
pente égale à −1. Pour analyser le fonctionnement du système autonome, il suffit de choisir quelques points de départ
correspondant à des conditions initiales différentes.