Solutions des exercices
199
SOLUTIONS
10.1 Nous connaissons l’allure du diagramme de Nyquist d’un tel système et avons déjà étudié le lieu critique d’une
saturation. Portons ces deux graphes sur la même figure et étudions les conditions de non intersection de ces deux lieux
(figure 10.15).
Im
Re
Figure 10.15 Étude de la stabilité d’un système d’ordre 3.
Le point d’intersection du lieu de Nyquist et de l’axe des réels peut être facilement déterminé.
On a :
G( jv) =
K
jv(1 + jT1v)(1 + jT2v)
d’où :
w(v) = −
p
2
− arctan T1v − arctan T2v
Le point A est tel que :
w(vp) = −
p
2
− arctan T1vp − arctan T2vp = −p
d’où :
arctan T1vp + arctan T2vp =
p
2
soit :
vp =
1
√
T1T2
On en déduit donc :
G(vp) =
K
vp
1 + T
2
1 v 2 p
1 + T
2
2 v 2 p
c’est-à-dire :
G(vp) =
K
1
√
T1T2
1 +
T1
T2
1 +
T2
T1
=
KT1T2
T1 + T2
Le point A a donc pour abscisse :
−
KT1T2
T1 + T2
Pour que le système soit stable, il faut et il suffit que le point A soit situé à droite du départ du lieu critique.
Soit :
−
KT1T2
T1 + T2
> −
1
k