10.3 Méthode du plan de phase
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Le système autonome évoluant au cours du temps, la forme de la trajectoire permet de prédire son
parcours, son état final, etc. On voit ainsi, dans notre exemple, que le système évolue vers un point fixe qui
n’est autre que le point O, ce qui signifie que le système va tendre vers un état d’équilibre stable où on aura
˙
x = x = 0.
10.3.3 Analyse des trajectoires et diagnostic du système
Pour étudier le comportement autonome d’un système, il convient surtout de rechercher la présence de
points singuliers. Ces singularités sont au nombre de quatre :
Les foyers sont définis comme les points d’arrivée des trajectoires. Si ce point possède des coordonnées
finies, le foyer est dit stable. Une trajectoire qui termine sa course sur un foyer stable correspond à un
système stable (compte tenu des conditions initiales qui ont été choisies). Si une trajectoire tend vers l’infini,
le système est instable (ou les conditions initiales qui ont été choisies comme point de départ de la trajectoire
sont des conditions d’instabilité).
Les nœuds sont des foyers où convergent plusieurs (ou toutes) trajectoires. La présence d’un nœud
permet de mettre en évidence la convergence inconditionnelle d’un système vers un même état quelles que
soient ses conditions initiales.
Les sommets sont des points autour desquels les trajectoires forment des courbes fermées ou finissent
par former des courbes fermées. La présence de sommets est synonyme d’oscillations stables.
Les cols sont des points sur lesquels l’état du système ne peut converger. La présence d’un col se traduit
par un ensemble de trajectoires qui semblent « éviter » une certaine zone du plan.
La figure 10.11 présente sur un même plan l’ensemble de ces singularités.
Figure 10.11 Singularités d’un plan de phase.
On conclut sur le comportement général en tentant de faire une étude exhaustive des conditions d’évolution des trajectoires, autrement dit en choisissant plusieurs points M 0 dans chaque partie du plan. On
constate alors, de visu, la manière dont le système se comporte.
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Le système autonome évoluant au cours du temps, la forme de la trajectoire permet de prédire son
parcours, son état final, etc. On voit ainsi, dans notre exemple, que le système évolue vers un point fixe qui
n’est autre que le point O, ce qui signifie que le système va tendre vers un état d’équilibre stable où on aura
˙
x = x = 0.
10.3.3 Analyse des trajectoires et diagnostic du système
Pour étudier le comportement autonome d’un système, il convient surtout de rechercher la présence de
points singuliers. Ces singularités sont au nombre de quatre :
Les foyers sont définis comme les points d’arrivée des trajectoires. Si ce point possède des coordonnées
finies, le foyer est dit stable. Une trajectoire qui termine sa course sur un foyer stable correspond à un
système stable (compte tenu des conditions initiales qui ont été choisies). Si une trajectoire tend vers l’infini,
le système est instable (ou les conditions initiales qui ont été choisies comme point de départ de la trajectoire
sont des conditions d’instabilité).
Les nœuds sont des foyers où convergent plusieurs (ou toutes) trajectoires. La présence d’un nœud
permet de mettre en évidence la convergence inconditionnelle d’un système vers un même état quelles que
soient ses conditions initiales.
Les sommets sont des points autour desquels les trajectoires forment des courbes fermées ou finissent
par former des courbes fermées. La présence de sommets est synonyme d’oscillations stables.
Les cols sont des points sur lesquels l’état du système ne peut converger. La présence d’un col se traduit
par un ensemble de trajectoires qui semblent « éviter » une certaine zone du plan.
La figure 10.11 présente sur un même plan l’ensemble de ces singularités.
Figure 10.11 Singularités d’un plan de phase.
On conclut sur le comportement général en tentant de faire une étude exhaustive des conditions d’évolution des trajectoires, autrement dit en choisissant plusieurs points M 0 dans chaque partie du plan. On
constate alors, de visu, la manière dont le système se comporte.