10.3 Méthode du plan de phase
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10.3 MÉTHODE DU PLAN DE PHASE
La méthode du plan de phase est spécifiquement adaptée à l’étude des systèmes d’ordre deux comportant
une non linéarité. Il s’agit d’une méthode d’analyse graphique et temporelle de l’évolution du système.
La technique retenue s’apparente beaucoup à la représentation d’état que nous étudierons à partir du chapitre 14.
10.3.1 Principe
On considère un système linéaire d’ordre deux régi par une équation différentielle que l’on écrit sous la
forme :
d
2 x
dt 2 = f
x,
dx
dt
ou encore : ¨
x = f (x, ˙
x)
Si on pose y = ˙
x et ˙
y = f (x, y), il est possible de considérer que le couple (x, y) représente, dans un plan,
les coordonnées d’un point M qui caractérise l’état du système à un instant t. L’état du système est en effet
entièrement connu grâce à ces deux grandeurs puisque la dérivée seconde est une fonction de x et de ˙
x. Au
cours du temps, le point M de coordonnées (x, y) évolue selon une courbe que l’on appelle la trajectoire
de phase du système. La courbe sur laquelle évolue le système dépend bien évidemment des conditions
initiales (donc des valeurs x(0) et ˙
x(0)) qui déterminent le point de départ M 0 de la trajectoire. A un système
est donc associé un ensemble de trajectoires possibles.
L’étude de la forme et des points singuliers des trajectoires de phase du système renseigne sur ses
performances. Cette étude est menée en régime autonome, c’est-à-dire en l’absence de signal de consigne.
10.3.2 Tracé des trajectoires
a) Méthode des isoclines
Pour tracer les trajectoires de phase du système, on a recours à des courbes intermédiaires appelées isoclines.
Ces courbes sont définies par :
dy
dx
= C
te
Les isoclines sont donc des lieux qui possèdent la propriété de présenter, en tout point, une tangente à la
trajectoire qui est constante. Autrement dit, toutes les trajectoires coupent une isocline selon le même angle.
L’intérêt de ces isoclines réside dans le fait qu’elles sont très simples à tracer et qu’elles fournissent
suffisamment de renseignements graphiques pour tracer les trajectoires qui elles, peuvent être relativement
délicates à mettre en évidence directement. La technique est la suivante :
En posant :
dy
dx
= l, on détermine l’équation de l’isocline y(x).
On trace alors dans le plan de phase plusieurs isoclines correspondant à quelques valeurs de l (des
entiers relatifs par exemple) et on trace, en plusieurs points de l’isocline, des petits segments matérialisant la
valeur de l. Ainsi, on matérialise les tangentes des trajectoires aux points où elles coupent l’isocline. À partir
de ces éléments graphiques et avec un peu d’intuition, il est possible d’accéder au tracé des trajectoires.
b) Exemple
Considérons, pour l’exemple, le système de fonction de transfert G( p) =
1
p( p + 1)
placé dans une boucle à
retour unitaire.
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10.3 MÉTHODE DU PLAN DE PHASE
La méthode du plan de phase est spécifiquement adaptée à l’étude des systèmes d’ordre deux comportant
une non linéarité. Il s’agit d’une méthode d’analyse graphique et temporelle de l’évolution du système.
La technique retenue s’apparente beaucoup à la représentation d’état que nous étudierons à partir du chapitre 14.
10.3.1 Principe
On considère un système linéaire d’ordre deux régi par une équation différentielle que l’on écrit sous la
forme :
d
2 x
dt 2 = f
x,
dx
dt
ou encore : ¨
x = f (x, ˙
x)
Si on pose y = ˙
x et ˙
y = f (x, y), il est possible de considérer que le couple (x, y) représente, dans un plan,
les coordonnées d’un point M qui caractérise l’état du système à un instant t. L’état du système est en effet
entièrement connu grâce à ces deux grandeurs puisque la dérivée seconde est une fonction de x et de ˙
x. Au
cours du temps, le point M de coordonnées (x, y) évolue selon une courbe que l’on appelle la trajectoire
de phase du système. La courbe sur laquelle évolue le système dépend bien évidemment des conditions
initiales (donc des valeurs x(0) et ˙
x(0)) qui déterminent le point de départ M 0 de la trajectoire. A un système
est donc associé un ensemble de trajectoires possibles.
L’étude de la forme et des points singuliers des trajectoires de phase du système renseigne sur ses
performances. Cette étude est menée en régime autonome, c’est-à-dire en l’absence de signal de consigne.
10.3.2 Tracé des trajectoires
a) Méthode des isoclines
Pour tracer les trajectoires de phase du système, on a recours à des courbes intermédiaires appelées isoclines.
Ces courbes sont définies par :
dy
dx
= C
te
Les isoclines sont donc des lieux qui possèdent la propriété de présenter, en tout point, une tangente à la
trajectoire qui est constante. Autrement dit, toutes les trajectoires coupent une isocline selon le même angle.
L’intérêt de ces isoclines réside dans le fait qu’elles sont très simples à tracer et qu’elles fournissent
suffisamment de renseignements graphiques pour tracer les trajectoires qui elles, peuvent être relativement
délicates à mettre en évidence directement. La technique est la suivante :
En posant :
dy
dx
= l, on détermine l’équation de l’isocline y(x).
On trace alors dans le plan de phase plusieurs isoclines correspondant à quelques valeurs de l (des
entiers relatifs par exemple) et on trace, en plusieurs points de l’isocline, des petits segments matérialisant la
valeur de l. Ainsi, on matérialise les tangentes des trajectoires aux points où elles coupent l’isocline. À partir
de ces éléments graphiques et avec un peu d’intuition, il est possible d’accéder au tracé des trajectoires.
b) Exemple
Considérons, pour l’exemple, le système de fonction de transfert G( p) =
1
p( p + 1)
placé dans une boucle à
retour unitaire.