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10 • Méthodes d’étude des asservissements continus non linéaires
Remarque : Le signe moins est volontairement introduit pour que ´(t) n’en ait pas, ce qui est conforme
avec le fait qu’il soit croissant à l’instant t = 0.
Par ailleurs,
´(t) = −s(t)
d’où :
´(t) =
+∞
n=1
4s max
(2n − 1) p
G ((2n − 1) v) sin [(2n − 1) vt + w ((2n − 1) v)]
et :
d´
dt
=
+∞
n=1
4s max v
p
G ((2n − 1) v) cos [(2n − 1) vt + w ((2n − 1) v)]
Remplaçons G ((2n − 1) v) par
10
(2n − 1) v
(2n − 1)
2 v 2 + 1
, et w ((2n − 1) v) par −
p
2
−arctan (2n − 1) v
puis calculons ´
p
v
et
1
v
d´
dt
p
v
:
y
p
v
= −
+∞
n=1
4s max
(2n − 1) p
10
(2n − 1) v
(2n − 1)
2 v 2 + 1
cos [arctan (2n − 1) v]
1
v
d´
dt
p
v
= −
+∞
n=1
4s max
p
10
(2n − 1) v
(2n − 1)
2 v 2 + 1
sin [arctan (2n − 1) v]
Il s’agit à présent de tracer le lieu des points d’affixe :
G(v) =
1
v
d´
dt
+ j´
lorsque v varie de 0 à +∞.
Remarque : Le lecteur comprendra aisément qu’il est extrêmement difficile de tracer un tel lieu à partir
des expressions précédentes. Il existe différentes techniques permettant de l’obtenir. Parmi ces techniques, sur lesquelles nous ne nous attarderons pas, on peut retenir des méthodes de calcul numérique
par ordinateur qui permettent d’obtenir directement le diagramme de la figure 10.8.
Im
Re
Figure 10.8 Étude de la stabilité du système par le lieu de Cypkin.
L’examen du diagramme nous montre une intersection entre le lieu de Cypkin et le lieu critique. Le
système est donc susceptible d’être le siège d’oscillations. Toutefois, elles resteront bornées compte tenu
du fait que le lieu de Cypkin coupe le lieu critique de bas en haut.