10.2 Méthode d’étude par le lieu de Cypkin
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On trace alors, dans le plan complexe, le lieu des points d’affixe G(v) lorsque v varie de 0 à +∞. La courbe
obtenue est appelée lieu de Cypkin. On trace sur le même diagramme la droite d’équation ´ = ´ s où ´ s est
la valeur seuil correspondant à la première commutation observable.
Le système est le siège d’oscillations spontanées si et seulement si il existe au moins un point d’intersection entre le lieu de Cypkin et la droite d’équation ´ = ´ s .
La présence d’oscillations ne signifie pas obligatoirement qu’il y a instabilité du système au sens de la
divergence de son état, donc de sa destruction probable. Cypkin a montré que les oscillations spontanées
restent stables (elles restent bornées) si l’intersection entre G(v) et la droite ´ = ´ s se fait de bas en haut
lorsque G(v) est parcourue dans le sens des v croissants. Dans le cas contraire, le système sera instable.
10.2.2 Exemple
Figure 10.7 Caractéristique
d’un relais à seuil nul avec
hystérésis.
On choisit d’étudier l’apparition d’oscillations spontanées dans le
système autonome de la figure 10.6 dans lequel l’élément non linéaire
est un relais à seuil nul présentant un hystérésis (figure 10.7) et dont
l’élément linéaire possède une fonction de transfert :
G( p) =
10
p( p + 1)
On suppose qu’à l’instant t = 0, on a :
´(0) = h et
d´
dt
(0) > 0
Sur la caractéristique de la figure 10.7, le point de fonctionnement se situe donc sur le seuil de commutation :
y(t) : 0 → y max
Tous les instants t k de commutation peuvent être facilement identifiés : le système commute à chaque demipériode du signal d’entrée,
soit :
t k =
kp
v
Les conditions de commutation dépendent bien évidemment de la valeur de ´. Ainsi, le premier instant de
commutation t 1 = p/v correspondra au franchissement par ´ du seuil −h, ´ étant décroissant en fonction
du temps.
On a donc :
´
p
v
= −h et
d´
dt
p
v
< 0
D’une manière générale :
´
kp
v
= (−1)
k h et (−1)
k d´
dt
p
v
> 0
Comme y(t) est un signal carré, on a :
y(t) = −
+∞
n=0
4s max
(2n + 1) p
sin (2n + 1) vt
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On trace alors, dans le plan complexe, le lieu des points d’affixe G(v) lorsque v varie de 0 à +∞. La courbe
obtenue est appelée lieu de Cypkin. On trace sur le même diagramme la droite d’équation ´ = ´ s où ´ s est
la valeur seuil correspondant à la première commutation observable.
Le système est le siège d’oscillations spontanées si et seulement si il existe au moins un point d’intersection entre le lieu de Cypkin et la droite d’équation ´ = ´ s .
La présence d’oscillations ne signifie pas obligatoirement qu’il y a instabilité du système au sens de la
divergence de son état, donc de sa destruction probable. Cypkin a montré que les oscillations spontanées
restent stables (elles restent bornées) si l’intersection entre G(v) et la droite ´ = ´ s se fait de bas en haut
lorsque G(v) est parcourue dans le sens des v croissants. Dans le cas contraire, le système sera instable.
10.2.2 Exemple
Figure 10.7 Caractéristique
d’un relais à seuil nul avec
hystérésis.
On choisit d’étudier l’apparition d’oscillations spontanées dans le
système autonome de la figure 10.6 dans lequel l’élément non linéaire
est un relais à seuil nul présentant un hystérésis (figure 10.7) et dont
l’élément linéaire possède une fonction de transfert :
G( p) =
10
p( p + 1)
On suppose qu’à l’instant t = 0, on a :
´(0) = h et
d´
dt
(0) > 0
Sur la caractéristique de la figure 10.7, le point de fonctionnement se situe donc sur le seuil de commutation :
y(t) : 0 → y max
Tous les instants t k de commutation peuvent être facilement identifiés : le système commute à chaque demipériode du signal d’entrée,
soit :
t k =
kp
v
Les conditions de commutation dépendent bien évidemment de la valeur de ´. Ainsi, le premier instant de
commutation t 1 = p/v correspondra au franchissement par ´ du seuil −h, ´ étant décroissant en fonction
du temps.
On a donc :
´
p
v
= −h et
d´
dt
p
v
< 0
D’une manière générale :
´
kp
v
= (−1)
k h et (−1)
k d´
dt
p
v
> 0
Comme y(t) est un signal carré, on a :
y(t) = −
+∞
n=0
4s max
(2n + 1) p
sin (2n + 1) vt