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10 • Méthodes d’étude des asservissements continus non linéaires
10.2 MÉTHODE D’ÉTUDE PAR LE LIEU DE CYPKIN
La méthode du lieu de Cypkin est une méthode d’étude plus fine que celle du premier harmonique qui
permet donc d’obtenir des résultats plus précis, mais qui ne s’applique qu’aux non linéarités de type relais.
10.2.1 Principe
Considérons le schéma fonctionnel de la figure 10.5. En sortie d’un élément non linéaire de type relais, le
signal y(t) est en général un signal carré. Si on suppose que la non linéarité est symétrique, on peut écrire :
y(t) =
+∞
n=0
y n sin (nvt + w n )
On a donc :
s(t) =
+∞
n=0
y n G (nv) sin [nvt + w n + w (nv)]
Figure 10.5 Système non linéaire.
La technique consiste à étudier le comportement du système lorsqu’il est le siège d’oscillations autonomes de pulsation v correspondant à une période T = 2p/v.
Dans un premier temps, on cherche à identifier les instants auxquels se produit la commutation de l’élément non linéaire. À partir de la connaissance de ces instants, on exprime les conditions de commutation
en fonction de ´ et de sa dérivée première d´/ dt. Il faut noter que ces deux grandeurs s’exprimeront en
fonction de v puisque les signaux sont périodiques de période T = 2p/v.
On traduit ensuite géométriquement ces conditions dans le plan complexe. Pour ce faire, on défini une
expression complexe G(v) telle que :
G(v) =
1
v
d´
dt
+ j´
Figure 10.6 Système non linéaire en régime autonome.
Puisque l’on étudie le système en régime autonome (figure 10.6), on aura également :
G(v) = −
1
v
ds
dt
− js
10 • Méthodes d’étude des asservissements continus non linéaires
10.2 MÉTHODE D’ÉTUDE PAR LE LIEU DE CYPKIN
La méthode du lieu de Cypkin est une méthode d’étude plus fine que celle du premier harmonique qui
permet donc d’obtenir des résultats plus précis, mais qui ne s’applique qu’aux non linéarités de type relais.
10.2.1 Principe
Considérons le schéma fonctionnel de la figure 10.5. En sortie d’un élément non linéaire de type relais, le
signal y(t) est en général un signal carré. Si on suppose que la non linéarité est symétrique, on peut écrire :
y(t) =
+∞
n=0
y n sin (nvt + w n )
On a donc :
s(t) =
+∞
n=0
y n G (nv) sin [nvt + w n + w (nv)]
Figure 10.5 Système non linéaire.
La technique consiste à étudier le comportement du système lorsqu’il est le siège d’oscillations autonomes de pulsation v correspondant à une période T = 2p/v.
Dans un premier temps, on cherche à identifier les instants auxquels se produit la commutation de l’élément non linéaire. À partir de la connaissance de ces instants, on exprime les conditions de commutation
en fonction de ´ et de sa dérivée première d´/ dt. Il faut noter que ces deux grandeurs s’exprimeront en
fonction de v puisque les signaux sont périodiques de période T = 2p/v.
On traduit ensuite géométriquement ces conditions dans le plan complexe. Pour ce faire, on défini une
expression complexe G(v) telle que :
G(v) =
1
v
d´
dt
+ j´
Figure 10.6 Système non linéaire en régime autonome.
Puisque l’on étudie le système en régime autonome (figure 10.6), on aura également :
G(v) = −
1
v
ds
dt
− js