10.1 Stabilité des systèmes non linéaires
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Figure 10.4 Diagramme de Nyquist et lieu critique du système.
Calculons l’abscisse du point de concours A du lieu de Nyquist de G( p) avec l’axe réel. On a :
w(v p ) = −p = −
p
2
− arctan
v p
10
− arctan
v p
100
soit :
v p =
√
1 000 rad/s = 31,6 rad/s
On en déduit donc :
G(v p ) =
10
4
v p
v
2
p + 100
v
2
p + 10
4
= 0,091
L’abscisse du point A est donc égale à −0,091. Nous pouvons donc en déduire que le système est inconditionnellement stable si :
1
k
> 0,091 ⇒ k < 11
Si ce n’est pas le cas, l’analyse du diagramme nous montre que le système est susceptible d’être instable
si le point de fonctionnement, sur le lieu critique, est situé à droite du point A, autrement dit, compte tenu
du sens de graduation du lieu critique, pour de faibles valeurs de ´. Il existe donc une valeur seuil ´ s en
dessous de laquelle le système devient instable. Cette constatation n’est pas pour nous rassurer, compte tenu
que l’objectif d’une boucle de régulation consiste à faire converger l’écart vers une valeur nulle, ou en tout
cas, la plus petite possible.
On peut facilement imaginer le phénomène qui ne manquera pas d’apparaître si on ne s’assure pas que
k < 11 : lors de la mise en route du système, un écart ´ important assurera la stabilité du système qui va
donc converger vers 0. En franchissant la valeur ´ s , le système devient instable et l’écart aura donc tendance
à augmenter à nouveau, donc à redevenir stable. On imagine sans peine que l’état du système va osciller
entre stabilité et instabilité temporaires : c’est le phénomène de pompage.
Nous venons de mettre en évidence l’un des phénomènes les plus fréquents liés à la présence d’un
élément non linéaire dans une chaîne de régulation : la présence d’oscillations spontanées qui, bien évidemment, sont en général inacceptables.