Exercices
183
Il convient, avant de tracer le lieu critique, de déterminer avec précision l’intervalle de variation de x 0 . En
effet, ici, la non-linéarité a une influence dès que x 0 > 0. Le lieu critique se trace alors aisément en faisant
varier x 0 de 0 à +∞. Ce lieu n’est autre que le demi-axe réel correspondant aux parties réelles négatives.
Im
Re
Figure 9.16 Lieu critique du relais parfait.
9.5.5 Justification de la méthode du premier harmonique
Les systèmes non linéaires séparables peuvent être mis, nous l’avons vu, sous la forme schématique présentée sur la figure 9.14. Dans la plupart des cas, la fonction de transfert linéaire G( p) se comporte comme un
filtre passe-bas, donc comme un atténuateur aux hautes fréquences. Ainsi, l’erreur commise en assimilant le
signal y(t) à son premier harmonique se trouve, de fait, considérablement atténuée ; en effet, la composante
utile du signal, si on considère la globalité de la chaîne de régulation, reste, la plupart du temps, dans les
basses fréquences.
9.5.6 Méthode de calcul approché du gain complexe équivalent
On peut s’affranchir du calcul de la décomposition en série de Fourier pour déterminer une approximation
de l’amplitude du premier harmonique, dans le cas de certaines non-linéarités. La méthode de Cypkin,
outre le fait qu’elle permet d’accéder rapidement à la fonction N(x 0 ), permet également de concevoir des
éléments non linéaires pour qu’ils présentent telle ou telle fonction N(x 0 ). Elle sert donc à la fois à l’analyse
des systèmes et à leur synthèse.
Selon Cypkin, le gain complexe équivalent d’un élément non linéaire possédant une caractéristique
y = f (x) à symétrie impaire et univoque (cas le plus fréquent) peut être approché par la relation :
N(x 0 ) =
2
3x 0
f (x 0 ) + f
x 0
2
EXERCICES
9.1 Séparation d’un système non-linéaire comportant une saturation interne
On considère le système représenté sur la figure 9.17.
Figure 9.17 Système non linéaire séparable.
Construire un schéma équivalent où l’élément non linéaire est séparé des éléments linéaires et placé immédiatement après le soustracteur et où la boucle est à retour unitaire.
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Il convient, avant de tracer le lieu critique, de déterminer avec précision l’intervalle de variation de x 0 . En
effet, ici, la non-linéarité a une influence dès que x 0 > 0. Le lieu critique se trace alors aisément en faisant
varier x 0 de 0 à +∞. Ce lieu n’est autre que le demi-axe réel correspondant aux parties réelles négatives.
Im
Re
Figure 9.16 Lieu critique du relais parfait.
9.5.5 Justification de la méthode du premier harmonique
Les systèmes non linéaires séparables peuvent être mis, nous l’avons vu, sous la forme schématique présentée sur la figure 9.14. Dans la plupart des cas, la fonction de transfert linéaire G( p) se comporte comme un
filtre passe-bas, donc comme un atténuateur aux hautes fréquences. Ainsi, l’erreur commise en assimilant le
signal y(t) à son premier harmonique se trouve, de fait, considérablement atténuée ; en effet, la composante
utile du signal, si on considère la globalité de la chaîne de régulation, reste, la plupart du temps, dans les
basses fréquences.
9.5.6 Méthode de calcul approché du gain complexe équivalent
On peut s’affranchir du calcul de la décomposition en série de Fourier pour déterminer une approximation
de l’amplitude du premier harmonique, dans le cas de certaines non-linéarités. La méthode de Cypkin,
outre le fait qu’elle permet d’accéder rapidement à la fonction N(x 0 ), permet également de concevoir des
éléments non linéaires pour qu’ils présentent telle ou telle fonction N(x 0 ). Elle sert donc à la fois à l’analyse
des systèmes et à leur synthèse.
Selon Cypkin, le gain complexe équivalent d’un élément non linéaire possédant une caractéristique
y = f (x) à symétrie impaire et univoque (cas le plus fréquent) peut être approché par la relation :
N(x 0 ) =
2
3x 0
f (x 0 ) + f
x 0
2
EXERCICES
9.1 Séparation d’un système non-linéaire comportant une saturation interne
On considère le système représenté sur la figure 9.17.
Figure 9.17 Système non linéaire séparable.
Construire un schéma équivalent où l’élément non linéaire est séparé des éléments linéaires et placé immédiatement après le soustracteur et où la boucle est à retour unitaire.