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9 • Analyse des asservissements continus non linéaires
Pour de nombreux éléments non linéaires, dont font partie les non-linéarités discontinues sans inertie, autrement dit les dispositifs de type relais, ce gain complexe équivalent ne dépend que de l’amplitude du signal
d’entrée et non de sa fréquence.
On a, dans ce cas :
N(x 0 ) =
y 1
x 0
(x 0 ) e
jw1(x0) = G 1 (x 0 ) e
jw1(x0)
Nous nous intéresserons uniquement, dans la suite de l’étude, à ce type de non-linéarités.
9.5.3 Notion de lieu critique
Le lieu critique d’un dispositif non linéaire est défini par le tracé, dans le plan complexe, du lieu en coordonnées polaires des points M d’affixes −
1
N(x 0 )
lorsque x 0 varie.
Remarque : Le choix de cette grandeur trouvera sa justification dans les pages qui suivent.
L’intervalle de variation doit être déterminé avec soin. En effet l’influence de la non-linéarité n’apparaît pas obligatoirement pour toutes les valeurs de x 0 . Dans le cas de la saturation d’un amplificateur, par
exemple, un fonctionnement linéaire peut être observé pour de faibles valeurs de x 0 . Le lieu critique, dans
ces conditions, ne se tracera que sur l’intervalle [a, + ∞] où a est la valeur seuil de x 0 à partir de laquelle
se produit le phénomène de saturation.
9.5.4 Exemple
Considérons un relais parfait à l’entrée duquel on injecte un signal sinusoïdal x(t) = x 0 sin vt (figure 9.15).
Le signal de sortie y(t) est un signal carré de même fréquence et d’amplitude s max .
Figure 9.15 Fonctionnement du relais parfait.
La décomposition en série de Fourier de ce signal carré nous est facilement donnée par un calcul simple
(voir chapitre 2) :
y(t) =
+∞
n=1
4s max
(2n − 1) p
sin (2n − 1) vt
L’approximation du premier harmonique nous donne :
y(t) ≈
4s max
p
sin vt
On a alors :
N(x 0 ) =
4s max
px 0
⇒ −
1
N(x 0 )
= −
px 0
4s max
9 • Analyse des asservissements continus non linéaires
Pour de nombreux éléments non linéaires, dont font partie les non-linéarités discontinues sans inertie, autrement dit les dispositifs de type relais, ce gain complexe équivalent ne dépend que de l’amplitude du signal
d’entrée et non de sa fréquence.
On a, dans ce cas :
N(x 0 ) =
y 1
x 0
(x 0 ) e
jw1(x0) = G 1 (x 0 ) e
jw1(x0)
Nous nous intéresserons uniquement, dans la suite de l’étude, à ce type de non-linéarités.
9.5.3 Notion de lieu critique
Le lieu critique d’un dispositif non linéaire est défini par le tracé, dans le plan complexe, du lieu en coordonnées polaires des points M d’affixes −
1
N(x 0 )
lorsque x 0 varie.
Remarque : Le choix de cette grandeur trouvera sa justification dans les pages qui suivent.
L’intervalle de variation doit être déterminé avec soin. En effet l’influence de la non-linéarité n’apparaît pas obligatoirement pour toutes les valeurs de x 0 . Dans le cas de la saturation d’un amplificateur, par
exemple, un fonctionnement linéaire peut être observé pour de faibles valeurs de x 0 . Le lieu critique, dans
ces conditions, ne se tracera que sur l’intervalle [a, + ∞] où a est la valeur seuil de x 0 à partir de laquelle
se produit le phénomène de saturation.
9.5.4 Exemple
Considérons un relais parfait à l’entrée duquel on injecte un signal sinusoïdal x(t) = x 0 sin vt (figure 9.15).
Le signal de sortie y(t) est un signal carré de même fréquence et d’amplitude s max .
Figure 9.15 Fonctionnement du relais parfait.
La décomposition en série de Fourier de ce signal carré nous est facilement donnée par un calcul simple
(voir chapitre 2) :
y(t) =
+∞
n=1
4s max
(2n − 1) p
sin (2n − 1) vt
L’approximation du premier harmonique nous donne :
y(t) ≈
4s max
p
sin vt
On a alors :
N(x 0 ) =
4s max
px 0
⇒ −
1
N(x 0 )
= −
px 0
4s max