9.5 Étude d’un système séparable par la méthode du premier harmonique
181
9.5
ÉTUDE D’UN SYSTÈME SÉPARABLE PAR LA MÉTHODE
DU PREMIER HARMONIQUE
Une fois un système non linéaire séparé, il est possible d’appliquer la méthode dite du premier harmonique
pour aboutir à des mises en équation, donc à des conditions d’études, similaires à celles déjà abordées dans
le cas des systèmes linéaires.
Le système est considéré comme séparable s’il est possible d’isoler, dans le modèle de fonctionnement
global de la boucle, les éléments linéaires possédant une fonction de transfert, d’une part, et les éléments
possédant une caractéristique s = f (e) non linéaire et indépendante de la fréquence, d’autre part. Dans
l’étude qui suit, nous considérerons donc des systèmes pouvant être placés sous la forme correspondant au
schéma de la figure 9.14.
Figure 9.14 Système non linéaire séparable.
9.5.1 Principe
Il est très facile d’identifier l’une des principales différences entre le fonctionnement d’un système linéaire
et celui d’un système non linéaire. À une entrée sinusoïdale, le premier est caractérisé par une réponse sinusoïdale de même pulsation mais d’amplitude différente et présentant en général, un déphasage par rapport
à l’entrée, ce que matérialise la notion de gain complexe G( jv) = G(v) e
jw(v) . Pour une même entrée sinusoïdale, le système non linéaire fournira une réponse périodique de même période que la sinusoïde d’entrée,
mais non sinusoïdale, à l’instar de ce qui est démontré pour le cas d’une saturation sur la figure 9.2.
D’une manière générale, si on injecte un signal sinusoïdal x(t) = x 0 sin vt à l’entrée de l’élément non
linéaire N(x), le signal de sortie y(t) pourra donc se décomposer en série de Fourier. Nous supposerons, pour
simplifier la présentation, que cette décomposition se limite à :
y(t) =
+∞
n=0
y n sin (nvt + w n )
La méthode du premier harmonique consiste à approcher l’expression du signal de sortie y(t) en ne retenant
que le terme d’ordre 1,
soit :
y(t) ∼ y 1 sin (vt + w 1 )
9.5.2 Gain complexe équivalent
En adoptant l’approximation du premier harmonique, on peut définir le concept de gain complexe équivalent
de l’élément non linéaire. Le rapport des amplitudes entre la sinusoïde d’entrée et l’approximation sinusoïdale en sortie étant égale à y 1 /x 0 et le déphasage entre elles valant w 1 , on peut écrire, tout en considérant
que ces deux grandeurs, gain et déphasage, varient en fonction de v et de x 0 :
N(x 0 , v) =
y 1
x 0
(x 0 , v) e
jw1(x0,v)
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ÉTUDE D’UN SYSTÈME SÉPARABLE PAR LA MÉTHODE
DU PREMIER HARMONIQUE
Une fois un système non linéaire séparé, il est possible d’appliquer la méthode dite du premier harmonique
pour aboutir à des mises en équation, donc à des conditions d’études, similaires à celles déjà abordées dans
le cas des systèmes linéaires.
Le système est considéré comme séparable s’il est possible d’isoler, dans le modèle de fonctionnement
global de la boucle, les éléments linéaires possédant une fonction de transfert, d’une part, et les éléments
possédant une caractéristique s = f (e) non linéaire et indépendante de la fréquence, d’autre part. Dans
l’étude qui suit, nous considérerons donc des systèmes pouvant être placés sous la forme correspondant au
schéma de la figure 9.14.
Figure 9.14 Système non linéaire séparable.
9.5.1 Principe
Il est très facile d’identifier l’une des principales différences entre le fonctionnement d’un système linéaire
et celui d’un système non linéaire. À une entrée sinusoïdale, le premier est caractérisé par une réponse sinusoïdale de même pulsation mais d’amplitude différente et présentant en général, un déphasage par rapport
à l’entrée, ce que matérialise la notion de gain complexe G( jv) = G(v) e
jw(v) . Pour une même entrée sinusoïdale, le système non linéaire fournira une réponse périodique de même période que la sinusoïde d’entrée,
mais non sinusoïdale, à l’instar de ce qui est démontré pour le cas d’une saturation sur la figure 9.2.
D’une manière générale, si on injecte un signal sinusoïdal x(t) = x 0 sin vt à l’entrée de l’élément non
linéaire N(x), le signal de sortie y(t) pourra donc se décomposer en série de Fourier. Nous supposerons, pour
simplifier la présentation, que cette décomposition se limite à :
y(t) =
+∞
n=0
y n sin (nvt + w n )
La méthode du premier harmonique consiste à approcher l’expression du signal de sortie y(t) en ne retenant
que le terme d’ordre 1,
soit :
y(t) ∼ y 1 sin (vt + w 1 )
9.5.2 Gain complexe équivalent
En adoptant l’approximation du premier harmonique, on peut définir le concept de gain complexe équivalent
de l’élément non linéaire. Le rapport des amplitudes entre la sinusoïde d’entrée et l’approximation sinusoïdale en sortie étant égale à y 1 /x 0 et le déphasage entre elles valant w 1 , on peut écrire, tout en considérant
que ces deux grandeurs, gain et déphasage, varient en fonction de v et de x 0 :
N(x 0 , v) =
y 1
x 0
(x 0 , v) e
jw1(x0,v)