Solutions des exercices
169
soit :
H( p) =
0,02K (1 + 2p)
p (1 + 2p) (1 + 2 000p) + 10 −4 K
=
0,02K (1 + 2p)
4 000 p 3 + 2 002 p 2 + p + 10 −4 K
Les conditions de stabilité en boucle fermée nous sont données par le critère de Routh :
4 000
1
0
2 002
10
−4 K 0
2 002 − 0,4K
2 002
0
0
10
−4 K
0
0
Le système est stable si et seulement si :
2 002 − 0,4K > 0 ⇒ K < 5 005
d) La fonction de transfert en boucle ouverte a pour expression :
KG( p)B( p) =
10
−4 K
p (1 + 2 000p) (1 + 2p)
Si on impose une marge de phase de 45
◦ , on a :
Dw = p −
p
2
− arctan 2 000vc0 − arctan 2vc0 =
p
4
En négligeant le dernier terme, on obtient : vc0 =
1
2 000
= 5 · 10
−4 rad/s
d’où :
tm =
3
vc0
=
3
5 · 10 −4 = 6 000 s = 1 h 40 mn
e) Pour déterminer la valeur du signal de consigne, il convient de calculer la valeur du signal délivré par le capteur
lorsque la température atteint 1 200
◦ C : en régime permanent, le capteur se comporte comme un gain de 5 · 10
−3 V/
◦ C.
Par conséquent :
u = 1 200
◦ C ⇒ u = 6 V
Comme la chaîne directe comporte un intégrateur, l’erreur statique sera nulle. Le système ne peut donc se stabiliser à
1 200
◦ C que si le signal d’entrée est un échelon de hauteur 6 V.
Si le système est réglé pour obtenir une marge de phase de 45
◦ , la réponse du système, en boucle fermée, sera caractérisée par un facteur d’amortissement égal à 0,45. D’après les abaques des réponses indicielles, cela correspond à un
dépassement de 20 %. La température maximale atteinte dans le four (temporairement) est donc égale à 1 440
◦ C.
Ce dépassement est bien évidemment trop important puisque les objets à cuire ne peuvent être soumis à des températures
dépassant 1 400
◦ C.
f) Si on souhaite limiter le dépassement à 10 %, nous devons régler le système de sorte qu’il présente une marge de
phase de 60
◦ . Cette marge de phase correspond à une pulsation vc0 telle que :
Dw = p −
p
2
− arctan 2 000vc0 − arctan 2vc0 =
p
3
soit :
arctan 2 000vc0 ≈
p
6
⇒ vc0 ≈
tan p/6
2 000
= 0,26 · 10
−3 rad/s
Par conséquent :
tm ≈
3
vc0
≈ 3 h 10 mn
Dans ces conditions, chaque traitement duerea 4 heures et 50 minutes (temps de montée en temprérature ajouté à une
heure de cuisson et à 24 minutes de manutention et refroidissement). On ne pouura donc en réaliser que 5 par 24 heures.
Le nombre maximum d’objets que l’on pourra traiter par jour est donc limité à 50.
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soit :
H( p) =
0,02K (1 + 2p)
p (1 + 2p) (1 + 2 000p) + 10 −4 K
=
0,02K (1 + 2p)
4 000 p 3 + 2 002 p 2 + p + 10 −4 K
Les conditions de stabilité en boucle fermée nous sont données par le critère de Routh :
4 000
1
0
2 002
10
−4 K 0
2 002 − 0,4K
2 002
0
0
10
−4 K
0
0
Le système est stable si et seulement si :
2 002 − 0,4K > 0 ⇒ K < 5 005
d) La fonction de transfert en boucle ouverte a pour expression :
KG( p)B( p) =
10
−4 K
p (1 + 2 000p) (1 + 2p)
Si on impose une marge de phase de 45
◦ , on a :
Dw = p −
p
2
− arctan 2 000vc0 − arctan 2vc0 =
p
4
En négligeant le dernier terme, on obtient : vc0 =
1
2 000
= 5 · 10
−4 rad/s
d’où :
tm =
3
vc0
=
3
5 · 10 −4 = 6 000 s = 1 h 40 mn
e) Pour déterminer la valeur du signal de consigne, il convient de calculer la valeur du signal délivré par le capteur
lorsque la température atteint 1 200
◦ C : en régime permanent, le capteur se comporte comme un gain de 5 · 10
−3 V/
◦ C.
Par conséquent :
u = 1 200
◦ C ⇒ u = 6 V
Comme la chaîne directe comporte un intégrateur, l’erreur statique sera nulle. Le système ne peut donc se stabiliser à
1 200
◦ C que si le signal d’entrée est un échelon de hauteur 6 V.
Si le système est réglé pour obtenir une marge de phase de 45
◦ , la réponse du système, en boucle fermée, sera caractérisée par un facteur d’amortissement égal à 0,45. D’après les abaques des réponses indicielles, cela correspond à un
dépassement de 20 %. La température maximale atteinte dans le four (temporairement) est donc égale à 1 440
◦ C.
Ce dépassement est bien évidemment trop important puisque les objets à cuire ne peuvent être soumis à des températures
dépassant 1 400
◦ C.
f) Si on souhaite limiter le dépassement à 10 %, nous devons régler le système de sorte qu’il présente une marge de
phase de 60
◦ . Cette marge de phase correspond à une pulsation vc0 telle que :
Dw = p −
p
2
− arctan 2 000vc0 − arctan 2vc0 =
p
3
soit :
arctan 2 000vc0 ≈
p
6
⇒ vc0 ≈
tan p/6
2 000
= 0,26 · 10
−3 rad/s
Par conséquent :
tm ≈
3
vc0
≈ 3 h 10 mn
Dans ces conditions, chaque traitement duerea 4 heures et 50 minutes (temps de montée en temprérature ajouté à une
heure de cuisson et à 24 minutes de manutention et refroidissement). On ne pouura donc en réaliser que 5 par 24 heures.
Le nombre maximum d’objets que l’on pourra traiter par jour est donc limité à 50.