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8 • Correction des systèmes linéaires asservis
d’où :
G( p) =
Q( p)
V( p)
=
0,02
p (1 + 2 000p)
Si on alimentait le four en boucle ouverte à l’aide d’une tension continue (signal d’entrée en échelon), on aurait :
Q( p) =
0,02
p (1 + 2 000p)
·
V0
p
=
0,02V0
p 2 (1 + 2 000p)
Si on applique le théorème de la valeur finale, on montre que :
lim
t→∞
u(t) = lim
p→0
pQ( p) = lim
p→0
0,02V0
p (1 + 2 000p)
→ ∞
Il est donc impossible de stabiliser la température du four en boucle ouverte.
b) Si on suppose malgré tout qu’on alimente le four en plaçant à son entrée un signal en échelon de 100 V, on aura :
Q( p) =
2
p 2 (1 + 2 000p)
⇒ u(t) = 2t + 4 000 e
−
t
2 000 −4 000
On atteint alors 1 200
◦ C au bout d’un temps t1 tel que :
1 200 = 2t1 + 4 000 e
−
t 1
2 000 −4 000
En résolvant numériquement cette équation, on obtient :
t1 ≈ 1 778 s ≈ 30 mn
c) La fonction de transfert du capteur est obtenue à partir de son équation :
u(t) + 2
du
dt
= 5 · 10
−3 u(t) ⇒ U( p) + 2pU( p) = 5 · 10
−3 Q( p)
d’où :
B( p) =
U( p)
Q( p)
=
5 · 10
−3
1 + 2p
La figure 8.13 présente l’ensemble de la boucle de régulation dans laquelle on a introduit également un gain K.
Figure 8.13 Schéma fonctionnel de la boucle de régulation.
La fonction de transfert en boucle ouverte a pour expression :
H( p) =
KG( p)
1 + KG( p)B( p)
=
0,02K
p (1 + 2 000p)
1 +
0,02K
p (1 + 2 000p)
·
5 · 10
−3
1 + 2p