Solutions des exercices
167
Pour avoir tm < 8 s et en considérant la relation approchée désormais bien connue, on doit avoir :
3
vc0
< 8 s ⇒ vc0 > 0,375 rad/s
Le gain K correspondant à cette pulsation de coupure à 0 dB est tel que :
G( p) =
K
100v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 1
= 1
soit :
K =
100v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 1 = 16,1
Pour garantir une pulsation vc0 supérieure à 0,375 rad/s, le gain K doit être supérieure à cette valeur.
Par conséquent :
tm < 8 s ⇒ K > 16,1
La plus petite valeur permettant d’obtenir à la fois ´p < 0,08 et tm < 8 s. est donc la plus grande des deux valeurs
trouvées :
´p < 0,08
et
tm < 8 s ⇒ K > 16,1
La marge de phase obtenue pour cette valeur de K est :
Dw = p − 2 arctan 10vc0 − arctan vc0 = 0,16 rad = 9
◦
La valeur du dépassement en boucle fermée se détermine aisément à partir de l’abaque des réponses indicielles du
second ordre (extrapolé ici à l’ordre 3) :
Dw = 9
◦
⇒ jBF = 0,09 ⇒ dep = 74 %
La marge de phase et le dépassement ne sont pas conformes au cahier des charges. Il nous faut donc corriger ces
performances en introduisant un correcteur à avance de phase C( p) qui aura pour mission de remonter la marge de
phase à une valeur de 60
◦ . En effet, la condition sur le dépassement est la plus contraignante. Un dépassement de 10 %
correspond à un facteur d’amortissement en boucle fermée de 0,6, soit une marge de phase de 60
◦ .
On a :
C( p) =
1 + aTp
1 + Tp
Il nous faut régler ce correcteur de manière à obtenir une remontée de phase de 51
◦ à la pulsation vc0 = 0,375 rad/s.
On a donc :
wmax = arcsin
a − 1
a + 1
= 51
◦
⇒ a = 8
et :
vmax = vc0 =
1
T
√
a
⇒ T =
1
vc0
√
a
= 0,94 s
d’où :
C( p) =
1 + 7,54p
1 + 0,94p
8.7 a) La fonction de transfert en boucle ouverte s’obtient aisément à partir de l’équation différentielle de fonctionnement du four en lui appliquant la transformation de Laplace.
du
dt
+ 2 000
d
2 u
dt 2 = 0,02 · v (t) ⇒ pQ( p) + 2 000 p
2 Q( p) = 0,02V( p)
167
Pour avoir tm < 8 s et en considérant la relation approchée désormais bien connue, on doit avoir :
3
vc0
< 8 s ⇒ vc0 > 0,375 rad/s
Le gain K correspondant à cette pulsation de coupure à 0 dB est tel que :
G( p) =
K
100v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 1
= 1
soit :
K =
100v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 1 = 16,1
Pour garantir une pulsation vc0 supérieure à 0,375 rad/s, le gain K doit être supérieure à cette valeur.
Par conséquent :
tm < 8 s ⇒ K > 16,1
La plus petite valeur permettant d’obtenir à la fois ´p < 0,08 et tm < 8 s. est donc la plus grande des deux valeurs
trouvées :
´p < 0,08
et
tm < 8 s ⇒ K > 16,1
La marge de phase obtenue pour cette valeur de K est :
Dw = p − 2 arctan 10vc0 − arctan vc0 = 0,16 rad = 9
◦
La valeur du dépassement en boucle fermée se détermine aisément à partir de l’abaque des réponses indicielles du
second ordre (extrapolé ici à l’ordre 3) :
Dw = 9
◦
⇒ jBF = 0,09 ⇒ dep = 74 %
La marge de phase et le dépassement ne sont pas conformes au cahier des charges. Il nous faut donc corriger ces
performances en introduisant un correcteur à avance de phase C( p) qui aura pour mission de remonter la marge de
phase à une valeur de 60
◦ . En effet, la condition sur le dépassement est la plus contraignante. Un dépassement de 10 %
correspond à un facteur d’amortissement en boucle fermée de 0,6, soit une marge de phase de 60
◦ .
On a :
C( p) =
1 + aTp
1 + Tp
Il nous faut régler ce correcteur de manière à obtenir une remontée de phase de 51
◦ à la pulsation vc0 = 0,375 rad/s.
On a donc :
wmax = arcsin
a − 1
a + 1
= 51
◦
⇒ a = 8
et :
vmax = vc0 =
1
T
√
a
⇒ T =
1
vc0
√
a
= 0,94 s
d’où :
C( p) =
1 + 7,54p
1 + 0,94p
8.7 a) La fonction de transfert en boucle ouverte s’obtient aisément à partir de l’équation différentielle de fonctionnement du four en lui appliquant la transformation de Laplace.
du
dt
+ 2 000
d
2 u
dt 2 = 0,02 · v (t) ⇒ pQ( p) + 2 000 p
2 Q( p) = 0,02V( p)