Solutions des exercices
165
d’où :
C( p) =
1 + 1,2p
1 + 0,43p
8.5 La fonction de transfert en boucle ouverte est :
G( p) = KA( p)B( p) =
24K
p 2 + 5p + 6
=
24K
(p + 2) (p + 3)
.
Pour obtenir une marge de phase égale à 45
◦ , on doit avoir :
Dw = p − arctan
vc0
2
− arctan
vc0
3
=
p
4
soit :
arctan
vc0
2
+ arctan
vc0
3
=
3p
4
Calculons la tangente des deux membres de l’expression :
tan
arctan
vc0
2
+ arctan
vc0
3
= tan
3p
4
= −1
d’où :
5vc0
6
1 −
v
2
c0
6
= −1 ⇒ v
2
c0 − 5vc0 − 6 = 0
Résolvons cette équation :
D = b
2 − 4ac = 25 + 24 = 49
La seule solution positive est :
vc0 =
5 +
√
9
2
= 6 rad/s
Par définition :
G(vc0) =
24K
4 + v
2
c0
9 + v
2
c0
= 1
Par conséquent :
K =
4 + v
2
c0
9 + v
2
c0
24
= 1,77
Dans un second temps, on exige de surcroît que le système présente en boucle fermée une erreur de position inférieure
à 0,2. Calculons l’erreur de position obtenue avec le réglage K = 1,77.
On a :
H( p) =
KA( p)
1 + KA( p)B( p)
=
8K
p 2 + 5p + 6 + 24K
d’où :
´p = lim
p→0
[1 − H( p)] =
1 −
8K
6 + 24K
= 71 %
Pour régler l’erreur de position sur 20 %, une première idée consiste à chercher à augmenter le gain K. On peut alors
s’attendre à une chute de la marge de stabilité que l’on corrigera ensuite au moyen d’un correcteur à avance de phase.
Toutefois :
´p =
1 −
8K
6 + 24K
= 20 % ⇒ 0,48 + 11,2K = 0
Aucune valeur positive de K ne permet donc d’obtenir la précision voulue. Il est donc nécessaire d’introduire un correcteur intégral dans la chaîne directe, seul moyen de garantir une erreur de position inférieure à 20 %. La nouvelle boucle
de régulation est présentée sur la figure 8.12.
Est-il possible de régler K de manière à obtenir à présent une marge de phase de 45
◦ ? Telle est la question à laquelle il
nous faut maintenant répondre.