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8 • Correction des systèmes linéaires asservis
Par conséquent :
K =
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0 = 12,8
Calculons l’erreur de position correspondante.
On a :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
(p + 3)
3 + K
donc :
´p = lim
p→0
[1 − H( p)] = lim
p→0
1 −
K
(p + 3)
3 + K
Dans notre cas :
´p = lim
p→0
1 −
12,8
(p + 3)
3 + 12,8
= 1 −
12,8
39,8
= 68 %
Pour corriger l’erreur de position, on introduit un correcteur à retard de phase :
C( p) =
a (1 + Tp)
1 + aTp
Le nouveau gain statique en boucle ouverte est désormais : G(0) =
Ka
27
.
L’erreur de position est donc égale à : ´p =
1
1 +
Ka
27
.
On a donc :
´p =
1
1 +
Ka
27
= 0,2 ⇒ a =
0,8 × 27
0,2 × 12,8
= 8,44
On choisit T de sorte que
1
T
vc0, par exemple T = 10 s
On a alors :
C( p) =
8,44 (1 + 10p)
1 + 84,4p
8.4 On sait déjà, pour avoir étudié ce système dans un précédent chapitre, qu’il est stable pour K < 8. Calculons la
valeur de K qui permet d’obtenir un temps de montée de 2,15 s :
On a :
vc0 ≈
3
tm
= 1,4 rad/s
Or :
G(v) =
K
√
v 2 + 1
3 et w(v) = −3 arctan v
Par définition :
G(vc0) =
K
v
2
c0 + 1
3 = 1 ⇒ K = 5
Dans ces conditions, la marge de phase vaut :
Dw = p + w(vc0) = p − 3 arctan vc0 = 17
◦
Il faut introduire un correcteur C( p) =
1 + aTp
1 + Tp
dans la chaîne directe, en le réglant pour obtenir une remontée de phase
de 28
◦ à la pulsation vc0 = 1,4 rad/s.
On a donc :
wmax = arcsin
a − 1
a + 1
= 28
◦
⇒ a = 2,8
et :
vmax = vc0 =
1
T
√
a
⇒ T =
1
vc0
√
a
= 0,43 s