Solutions des exercices
163
d’où :
5vc0
4
1 −
v
2
c0
4
= −1 ⇒ v
2
c0 − 5vc0 − 4 = 0
Résolvons cette équation :
D = b
2 − 4ac = 25 + 16 = 41
La seule solution positive est :
vc0 =
5 +
√
41
2
= 5,7 rad/s
Par définition :
KG(vc0) =
K
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0
= 1
Par conséquent :
K =
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0 = 40,3
Le gain K étant réglé sur cette valeur, on a bien une marge de phase de 45
◦ et un temps de montée en boucle fermée
que l’on peut estimer en utilisant la relation approchée suivante :
vc0tm ≈ 3 ⇒ tm ≈
3
vc0
=
3
5,7
= 0,53 s
Si on souhaite régler le temps de montée sur 0,2 s, on doit avoir :
vc0tm ≈ 3 ⇒ vc0 ≈
3
0,2
= 15 rad/s
Pour obtenir une telle pulsation de coupure à 0 dB, il faut changer la valeur de K :
Par définition :
KG(vc0) =
K
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0
= 1
Par conséquent :
K =
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0 = 233,4
La marge de phase a bien évidemment changé :
Dw = p − arctan vc0 − arctan
vc0
4
= 0,326 rad = 18,7
◦
Ce résultat montre bien qu’en cherchant à augmenter la rapidité d’un système par une correction proportionnelle, on
dégrade sa stabilité.
8.3 D’après l’abaque des réponses indicielles d’un système du second ordre, un dépassement de 10 % correspond à un
facteur d’amortissement jBF = 0,6. La relation approchée que nous pouvons extrapoler à l’ordre 3 nous donne donc :
Dw = 100jBF = 60
◦ =
p
3
Calculons alors la pulsation de coupure à 0 dB correspondante :
Comme :
G( jv) =
K
(jv + 3)
3
on a :
Dw = p − 3 arctan
vc0
3
=
p
3
d’où :
vc0 = 3 tan
2p
9
= 2,52 rad/s
Par définition :
G(vc0) =
K
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0
= 1
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d’où :
5vc0
4
1 −
v
2
c0
4
= −1 ⇒ v
2
c0 − 5vc0 − 4 = 0
Résolvons cette équation :
D = b
2 − 4ac = 25 + 16 = 41
La seule solution positive est :
vc0 =
5 +
√
41
2
= 5,7 rad/s
Par définition :
KG(vc0) =
K
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0
= 1
Par conséquent :
K =
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0 = 40,3
Le gain K étant réglé sur cette valeur, on a bien une marge de phase de 45
◦ et un temps de montée en boucle fermée
que l’on peut estimer en utilisant la relation approchée suivante :
vc0tm ≈ 3 ⇒ tm ≈
3
vc0
=
3
5,7
= 0,53 s
Si on souhaite régler le temps de montée sur 0,2 s, on doit avoir :
vc0tm ≈ 3 ⇒ vc0 ≈
3
0,2
= 15 rad/s
Pour obtenir une telle pulsation de coupure à 0 dB, il faut changer la valeur de K :
Par définition :
KG(vc0) =
K
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0
= 1
Par conséquent :
K =
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0 = 233,4
La marge de phase a bien évidemment changé :
Dw = p − arctan vc0 − arctan
vc0
4
= 0,326 rad = 18,7
◦
Ce résultat montre bien qu’en cherchant à augmenter la rapidité d’un système par une correction proportionnelle, on
dégrade sa stabilité.
8.3 D’après l’abaque des réponses indicielles d’un système du second ordre, un dépassement de 10 % correspond à un
facteur d’amortissement jBF = 0,6. La relation approchée que nous pouvons extrapoler à l’ordre 3 nous donne donc :
Dw = 100jBF = 60
◦ =
p
3
Calculons alors la pulsation de coupure à 0 dB correspondante :
Comme :
G( jv) =
K
(jv + 3)
3
on a :
Dw = p − 3 arctan
vc0
3
=
p
3
d’où :
vc0 = 3 tan
2p
9
= 2,52 rad/s
Par définition :
G(vc0) =
K
1 + v
2
c0
16 + v
2
c0
= 1