162
8 • Correction des systèmes linéaires asservis
soit :
H( p) =
K
(p + 1)
p 2 + 16p + 64
+ K
=
K
p 3 + 17 p 2 + 80p + 64 + K
Appliquons le critère de Routh pour déterminer les conditions de stabilité :
1
8 0
17
64 + K
1 296 − K
17
0
64 + K
0
Le système est stable si K < 1 296.
En introduisant un intégrateur dans la chaîne directe, on annule l’erreur de position et on a, à présent :
G( p) =
K
p (p + 1) (p + 8)
2
et :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
p (p + 1) (p + 8)
2 + K
soit :
H( p) =
K
p 4 + 17 p 3 + 80 p 2 + 64p + K
Appliquons encore le critère de Routh pour déterminer les nouvelles conditions de stabilité :
1
8 0 K
17
64 0
1 296
17
K 0
64 − 0,223K 0 0
K
Le système est stable si K < 287.
L’introduction d’un intégrateur pour annuler l’erreur de position réduit considérablement l’intervalle de réglage du gain
K, preuve que la correction intégrale dégrade sensiblement la stabilité d’un système.
8.2 La fonction de transfert en boucle ouverte a pour expression :
KG( p) =
K
(p + 1) (p + 4)
soit :
KG( jv) =
K
(1 + jv) (4 + jv)
Pour obtenir une marge de phase égale à 45
◦ , on doit avoir :
Dw = p − arctan vc0 − arctan
vc0
4
=
p
4
soit :
arctan vc0 + arctan
vc0
4
=
3p
4
Calculons la tangente des deux membres de l’expressions :
tan
arctan vc0 + arctan
vc0
4
= tan
3p
4
= −1