Solutions des exercices
161
Tout en conservant cette valeur de K, on introduit, en amont de G(p), dans la chaîne directe, un correcteur
C(p) destiné à corriger le dépassement et la marge de phase, sans altérer ni la rapidité, ni la précision qui
correspondent au cahier des charges.
Déterminer avec précision la fonction de transfert de ce correcteur.
8.7 Régulation d’un four en fonction d’un cahier des charges
Un four électrique destiné au traitement thermique d’objets est constitué d’une enceinte close chauffée par
une résistance électrique alimentée par une tension v (t). Dix objets peuvent prendre place simultanément
dans le four. Le traitement thermique consiste à maintenir les objets pendant 1 heure à une température
de 1 200
◦ C (régulée de façon optimale car les objets sont détruits si la température dépasse 1 400
◦ C).
Entre deux cuissons, un temps de 24 minutes est nécessaire pour procéder au refroidissement du four et à
la manutention.
Le four est régi par l’équation différentielle :
du
dt
+ 2 000
d
2 u
dt 2 = 0,02v (t).
a) Calculer la fonction de transfert G( p) du four en boucle ouverte. Quel est le gain statique du four ? Que
se passerait-il si on alimentait le four en continu et en boucle ouverte ?
b) En admettant malgré tout qu’on alimente le four en boucle ouverte en appliquant aux bornes de la
résistance une tension de 100 V continue, au bout de quelle durée atteindrait-on, dans le four, une
température de 1 200
◦ C ?
On décide de réguler la température dans le four en utilisant un capteur de température qui délivre une
tension u(t).
Le capteur est régi par l’équation différentielle : u(t) + 2
du
dt
= 5 · 10
−3 u(t).
On introduit également un gain K dans la chaîne directe.
c) Faire le schéma de la boucle de régulation et calculer sa fonction de transfert en boucle fermée. Déterminer les conditions de stabilité de ce système.
d) On souhaite se placer dans des conditions de stabilité suffisantes en imposant une marge de phase
Dw = 45
◦ . Quelle est, dans ces conditions, la valeur du temps de montée en boucle fermée ?
e) On souhaite évidemment réguler la température du four à 1 200
◦ C. Déterminer l’expression du signal
de consigne à introduire dans le système. Le système étant réglé pour obtenir une marge de phase
Dw = 45
◦ , quelle est la température maximale que l’on atteint dans le four ? Conclure.
f) En voulant limiter le dépassement à 10 %, quel sera le temps de montée en température du four ? Combien peut on traiter d’objets en 24 heures ?
g) On souhaite atteindre une cadence de traitement de 100 objets par 24 heures. Sur quelle valeur faut-il
régler le gain K pour atteindre cet objectif ? Que vaut alors la marge de phase ? Quel correcteur faut-il
ajouter à la chaîne directe pour limiter le dépassement à 10 % tout en conservant cette cadence ?
SOLUTIONS
8.1 La fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
(p + 1) (p + 8)
2 + K
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Tout en conservant cette valeur de K, on introduit, en amont de G(p), dans la chaîne directe, un correcteur
C(p) destiné à corriger le dépassement et la marge de phase, sans altérer ni la rapidité, ni la précision qui
correspondent au cahier des charges.
Déterminer avec précision la fonction de transfert de ce correcteur.
8.7 Régulation d’un four en fonction d’un cahier des charges
Un four électrique destiné au traitement thermique d’objets est constitué d’une enceinte close chauffée par
une résistance électrique alimentée par une tension v (t). Dix objets peuvent prendre place simultanément
dans le four. Le traitement thermique consiste à maintenir les objets pendant 1 heure à une température
de 1 200
◦ C (régulée de façon optimale car les objets sont détruits si la température dépasse 1 400
◦ C).
Entre deux cuissons, un temps de 24 minutes est nécessaire pour procéder au refroidissement du four et à
la manutention.
Le four est régi par l’équation différentielle :
du
dt
+ 2 000
d
2 u
dt 2 = 0,02v (t).
a) Calculer la fonction de transfert G( p) du four en boucle ouverte. Quel est le gain statique du four ? Que
se passerait-il si on alimentait le four en continu et en boucle ouverte ?
b) En admettant malgré tout qu’on alimente le four en boucle ouverte en appliquant aux bornes de la
résistance une tension de 100 V continue, au bout de quelle durée atteindrait-on, dans le four, une
température de 1 200
◦ C ?
On décide de réguler la température dans le four en utilisant un capteur de température qui délivre une
tension u(t).
Le capteur est régi par l’équation différentielle : u(t) + 2
du
dt
= 5 · 10
−3 u(t).
On introduit également un gain K dans la chaîne directe.
c) Faire le schéma de la boucle de régulation et calculer sa fonction de transfert en boucle fermée. Déterminer les conditions de stabilité de ce système.
d) On souhaite se placer dans des conditions de stabilité suffisantes en imposant une marge de phase
Dw = 45
◦ . Quelle est, dans ces conditions, la valeur du temps de montée en boucle fermée ?
e) On souhaite évidemment réguler la température du four à 1 200
◦ C. Déterminer l’expression du signal
de consigne à introduire dans le système. Le système étant réglé pour obtenir une marge de phase
Dw = 45
◦ , quelle est la température maximale que l’on atteint dans le four ? Conclure.
f) En voulant limiter le dépassement à 10 %, quel sera le temps de montée en température du four ? Combien peut on traiter d’objets en 24 heures ?
g) On souhaite atteindre une cadence de traitement de 100 objets par 24 heures. Sur quelle valeur faut-il
régler le gain K pour atteindre cet objectif ? Que vaut alors la marge de phase ? Quel correcteur faut-il
ajouter à la chaîne directe pour limiter le dépassement à 10 % tout en conservant cette cadence ?
SOLUTIONS
8.1 La fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
(p + 1) (p + 8)
2 + K