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7 • Performances des systèmes linéaires asservis
Calculons à présent l’erreur statique. La fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
(10p + 1)
3 + K
Par définition, l’erreur statique a pour expression :
´p = lim
p→0
[1 − H( p)] = 1 −
K
1 + K
=
1
1 + K
On a donc :
K < 2,8 ⇒ ´p >
1
1 + 2,8
= 0,26
L’erreur statique est donc obligatoirement supérieure à 26 % si on souhaite avoir une marge de phase supérieure à 45
◦ .
7.8 L’erreur de position est nulle étant donné que la fonction de transfert en boucle ouverte possède un pôle nul.
Pour obtenir un temps de montée tm = 0,2 s en boucle fermée, on doit avoir :
vc0 ≈
3
tm
= 15 rad/s
soit :
G(vc0) =
K
vc0
v
2
c0 + 100
= 1
d’où :
K = vc0
v
2
c0 + 100
= 4875
Dans ces conditions, la marge de phase vaut :
Dw = p + w (vc0) = p + arg
K
jvc0 (jvc0 + 10)
2
soit :
Dw = p −
p
2
− 2 arctan
vc0
10
= −0,39 rad = −22
◦
La marge de phase étant négative, le système est instable. Par conséquent, il est impossible de régler le gain K de
manière à obtenir la rapidité voulue.