Solutions des exercices
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7.6 Pour avoir un dépassement inférieur à 10 %, il faut que le système présente, en boucle fermée, un facteur d’amortissement supérieur à 0,6. Cela correspond à une marge de phase de 60
◦ . La condition sur le dépassement s’avérant
plus contraignante que celle imposée sur la marge de phase, on doit donc avoir :
Dw = p + w (vc0) = p + arg G (jvc0) =
p
3
soit :
Dw = p + arg
K
jvc0 (jvc0 + 5)
2
=
p
3
Dw = p −
p
2
− 2 arctan
vc0
5
=
p
3
d’où :
vc0 = 5 tan
p
12
= 1,34 rad/s
On a donc :
G (vc0) =
K
vc0
v
2
c0 + 25
= 1
d’où :
K = vc0
v
2
c0 + 25
= 36
Le temps de montée en boucle fermée peut par ailleurs être prédit à partir de la valeur de la pulsation de coupure à 0 dB
de la fonction de transfert en boucle ouverte :
tm ≈
3
vc0
= 2,24 s
7.7 Pour obtenir une marge de phase supérieure à 45
◦ , il faut avoir :
Dw = p + w (vc0) = p + arg G (jvc0) >
p
4
soit :
Dw = p + arg
K
(10jvc0 + 1)
3
>
p
4
Dw = p − 3 arctan 10vc0 >
p
4
d’où :
vc0 <
1
10
tan
3p
12
= 0,1 rad/s
Calculons la valeur de K correspondant à cette pulsation de coupure à 0 dB.
On a :
G (vc0) =
K
1 + 100v
2
c0
3 = 1
d’où :
K =
1 + 100v
2
c0
3
= 2,8
La condition sur vc0 nous imposant une limite supérieure, il en est de même pour la condition sur K.
En conclusion :
Dw > 45
◦
⇒ K < 2,8
Par ailleurs, comme :
tm ≈
3
vc0
on a :
tm >
3
0,1
= 30 s
Le temps de montée minimal (autrement dit la meilleure rapidité possible) est donc égal à 30 s.