144
7 • Performances des systèmes linéaires asservis
On a donc :
v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 100
= 10
4
soit :
v
4
c0 + 101v
2
c0 − 9900 = 0
On a :
D = b
2 − 4ac = 49801
d’où :
v
2
c0 =
−101 ±
√
49801
2
La seule solution possible est :
v
2
c0 = 61 ⇒ vc0 = 7,8 rad/s
On a donc :
Dw = p + arg G (jvc0) = p + arg
100
(jvc0 + 1) (jvc0 + 10)
soit :
Dw = p − arctan vc0 − arctan
vc0
10
= 1,04 rad = 59
◦
Le dépassement en boucle fermée peut être prédit à partir de cette valeur de la marge de phase.
En effet :
jBF ≈
Dw
100
≈ 0,6
D’après l’abaque des réponses indicielles d’un système du second ordre (voir annexe), un tel facteur d’amortissement
correspond à un dépassement d’environ 10 %.
Quant à la valeur de temps de montée, elle peut être prédite en utilisant la relation approchée :
vc0tm ≈ 3 ⇒ tm ≈
3
12,7
= 0,38 s
7.5 Utilisons la relation approchée suivante :
vc0 ≈
3
tm
= 30 rad/s
Il s’agit donc de régler le gain K pour obtenir cette pulsation de coupure à 0 dB.
On doit donc avoir :
G(vc0) =
K
vc0
v
2
c0 + 100
= 1
d’où :
K = vc0
v
2
c0 + 100 = 949
La pulsation vc0 étant réglée sur la valeur voulue, la marge de phase est donc fixée :
Dw = p + w (vc0) = p + arg G (jvc0)
soit :
Dw = p + arg
K
jvc0 (jvc0 + 10)
= p −
p
2
− arctan
vc0
10
d’où :
Dw =
p
2
− arctan
30
10
= 0,32 rad = 18
◦
En utilisant la relation approchée désormais bien connue, on en déduit :
jBF ≈
Dw
100
≈ 0,18
D’après l’abaque des réponses indicielles d’un système du second ordre (voir annexe), un tel facteur d’mortissement
correspond à un dépassement d’environ 55 %.
7 • Performances des systèmes linéaires asservis
On a donc :
v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 100
= 10
4
soit :
v
4
c0 + 101v
2
c0 − 9900 = 0
On a :
D = b
2 − 4ac = 49801
d’où :
v
2
c0 =
−101 ±
√
49801
2
La seule solution possible est :
v
2
c0 = 61 ⇒ vc0 = 7,8 rad/s
On a donc :
Dw = p + arg G (jvc0) = p + arg
100
(jvc0 + 1) (jvc0 + 10)
soit :
Dw = p − arctan vc0 − arctan
vc0
10
= 1,04 rad = 59
◦
Le dépassement en boucle fermée peut être prédit à partir de cette valeur de la marge de phase.
En effet :
jBF ≈
Dw
100
≈ 0,6
D’après l’abaque des réponses indicielles d’un système du second ordre (voir annexe), un tel facteur d’amortissement
correspond à un dépassement d’environ 10 %.
Quant à la valeur de temps de montée, elle peut être prédite en utilisant la relation approchée :
vc0tm ≈ 3 ⇒ tm ≈
3
12,7
= 0,38 s
7.5 Utilisons la relation approchée suivante :
vc0 ≈
3
tm
= 30 rad/s
Il s’agit donc de régler le gain K pour obtenir cette pulsation de coupure à 0 dB.
On doit donc avoir :
G(vc0) =
K
vc0
v
2
c0 + 100
= 1
d’où :
K = vc0
v
2
c0 + 100 = 949
La pulsation vc0 étant réglée sur la valeur voulue, la marge de phase est donc fixée :
Dw = p + w (vc0) = p + arg G (jvc0)
soit :
Dw = p + arg
K
jvc0 (jvc0 + 10)
= p −
p
2
− arctan
vc0
10
d’où :
Dw =
p
2
− arctan
30
10
= 0,32 rad = 18
◦
En utilisant la relation approchée désormais bien connue, on en déduit :
jBF ≈
Dw
100
≈ 0,18
D’après l’abaque des réponses indicielles d’un système du second ordre (voir annexe), un tel facteur d’mortissement
correspond à un dépassement d’environ 55 %.