Solutions des exercices
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Par ailleurs, l’erreur de vitesse est définie par :
´v = lim
p→0
1 − H( p)
p
= lim
p→0
0,091
p
→ +∞
7.2 La fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
10
p (p + 1)
2 + 10
On vérifie sans peine que l’erreur de position est nulle étant donné la présence, dans la fonction de transfert en boucle
ouverte, d’un pôle nul :
´p = lim
p→0
[1 − H( p)] = 1 −
10
10
= 0
Par ailleurs, l’erreur de vitesse a pour expression :
´v = lim
p→0
1 − H( p)
p
= lim
p→0
1
p
−
10
p 2 (p + 1)
2 + 10p
soit :
´v = lim
p→0
p
2 (p + 1)
2 + 10p − 10p
p 3 (p + 1)
2 + 10 p 2
= lim
p→0
(p + 1)
2
p (p + 1)
2 + 10
d’où :
´v = 0,1
7.3 La fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
K
(p + 3)
2 + K
L’erreur de position a donc pour expression :
´p = lim
p→0
[1 − H( p)] = 1 −
K
9 + K
=
9
9 + K
Si on souhaite régler K pour obtenir une erreur de position de 5 %, on doit avoir :
´p =
9
9 + K
= 0,05 ⇒ K =
9
0,05
− 9 = 171
7.4 La fonction de transfert en boucle fermée a pour expression :
H( p) =
G( p)
1 + G( p)
=
100
(p + 1) (p + 10) + 100
L’erreur de position a donc pour expression :
´p = lim
p→0
[1 − H( p)] = 1 −
100
110
= 0,091 = 9,1 %
Calculons à présent la marge de phase. Par définition, on a :
Dw = p + w (vc0) = p + arg G (jvc0)
avec :
G (vc0) =
100
v
2
c0 + 1
v
2
c0 + 100
= 1