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7 • Performances des systèmes linéaires asservis
Remarque : Nous n’avons pas affaire à un système du second ordre mais n’oublions pas que nous avons
généralisé ce résultat à tout système dont le comportement peut être assimilé à celui d’un second ordre.
La condition imposée sur le dépassement est encore plus contraignante que la clause concernant la
marge de stabilité. Nous retiendrons donc qu’il nous faut régler le gain statique K de manière à obtenir une
marge de phase de 60
◦ .
La marge de phase étant définie par :
Dw = p + w(v c0 )
avec :
w(v) = arg
10K
jv (jv + 1)
2
= 0 −
p
2
− 2 arctan v
On a :
Dw =
p
3
= p −
p
2
− 2 arctan v c0
soit :
2 arctan v c0 =
p
6
d’où :
v c0 = tan
p
12
≈ 0,27 rad/s
La pulsation de coupure à 0 dB étant définie par G(v c0 ) = 1, on a :
G(v c0 ) =
10K
v c0
v
2
c0 + 1
= 1
d’où :
K =
1
10
v c0
v
2
c0 + 1
≈ 0,03
7.6.4 Prédiction du temps de montée en boucle fermée
Appliquons l’équation prédictive mise en évidence pour un système du second ordre et généralisée :
t m ≈
3
v c0
soit :
t m ≈
3
0,03
≈ 100 s
7.6.5 Conclusion
Dans ce cas, relativement simple, seules la marge de stabilité et la limitation du dépassement nous étaient
imposées. Compte tenu de l’absence de conditions de rapidité et de précision, il était prévisible qu’en
choisissant un gain suffisamment faible, on pourrait sans aucun problème satisfaire aux deux contraintes du
cahier des charges.
Les choses se compliqueront lorsque le cahier des charges imposera un ensemble complet de performances. Il ne sera pas toujours possible, en règlant simplement le gain, d’asservir un système de manière
optimale.
En effet, si dans notre étude de cas, nous avions imposé un temps de montée inférieur à 50 s, nous
n’aurions pu trouver aucune valeur de K qui convienne ; pour augmenter la rapidité, il faudrait augmenter
K, donc diminuer la marge de phase, ce qui nous conduirait à un dépassement supérieur à 10 %.
Le prochain chapitre présente comment on peut parvenir à concilier toutes les exigences d’un cahier des
charges, en ajoutant, dans la boucle de régulation, des correcteurs dont le rôle consistera à améliorer telle
ou telle performance sans dégrader les autres.
7 • Performances des systèmes linéaires asservis
Remarque : Nous n’avons pas affaire à un système du second ordre mais n’oublions pas que nous avons
généralisé ce résultat à tout système dont le comportement peut être assimilé à celui d’un second ordre.
La condition imposée sur le dépassement est encore plus contraignante que la clause concernant la
marge de stabilité. Nous retiendrons donc qu’il nous faut régler le gain statique K de manière à obtenir une
marge de phase de 60
◦ .
La marge de phase étant définie par :
Dw = p + w(v c0 )
avec :
w(v) = arg
10K
jv (jv + 1)
2
= 0 −
p
2
− 2 arctan v
On a :
Dw =
p
3
= p −
p
2
− 2 arctan v c0
soit :
2 arctan v c0 =
p
6
d’où :
v c0 = tan
p
12
≈ 0,27 rad/s
La pulsation de coupure à 0 dB étant définie par G(v c0 ) = 1, on a :
G(v c0 ) =
10K
v c0
v
2
c0 + 1
= 1
d’où :
K =
1
10
v c0
v
2
c0 + 1
≈ 0,03
7.6.4 Prédiction du temps de montée en boucle fermée
Appliquons l’équation prédictive mise en évidence pour un système du second ordre et généralisée :
t m ≈
3
v c0
soit :
t m ≈
3
0,03
≈ 100 s
7.6.5 Conclusion
Dans ce cas, relativement simple, seules la marge de stabilité et la limitation du dépassement nous étaient
imposées. Compte tenu de l’absence de conditions de rapidité et de précision, il était prévisible qu’en
choisissant un gain suffisamment faible, on pourrait sans aucun problème satisfaire aux deux contraintes du
cahier des charges.
Les choses se compliqueront lorsque le cahier des charges imposera un ensemble complet de performances. Il ne sera pas toujours possible, en règlant simplement le gain, d’asservir un système de manière
optimale.
En effet, si dans notre étude de cas, nous avions imposé un temps de montée inférieur à 50 s, nous
n’aurions pu trouver aucune valeur de K qui convienne ; pour augmenter la rapidité, il faudrait augmenter
K, donc diminuer la marge de phase, ce qui nous conduirait à un dépassement supérieur à 10 %.
Le prochain chapitre présente comment on peut parvenir à concilier toutes les exigences d’un cahier des
charges, en ajoutant, dans la boucle de régulation, des correcteurs dont le rôle consistera à améliorer telle
ou telle performance sans dégrader les autres.