7.5 Influence du gain statique en boucle ouverte sur les performances en boucle fermée
137
Remarque : L’approximation peut paraître grossière, mais il ne s’agit que d’un ordre de grandeur.
Comme le dépassement en boucle fermée ne dépend que du facteur d’amortissement j BF , nous venons
de montrer qu’il est possible de prédire ce dépassement en boucle fermée à partir de la valeur de la marge
de phase, autrement dit, à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte :
Dw
◦
→ j BF ≈
Dw
◦
100
→ d % = exp
⎛
⎝ −p
j BF
1 − j
2
BF
⎞
⎠
On peut également se référer à l’abaque des réponses indicielles en temps réduit d’un système du second
ordre fourni en annexe et y lire directement, à partir de la courbe correspondant au facteur d’amortissement
constaté, la valeur de son dépassement.
7.4.3 Généralisation
Pour tout système linéaire d’ordre quelconque présentant un fonctionnement analogue à un deuxième ordre,
nous conserverons cette estimation qui permet de prédire la valeur du dépassement en boucle fermée :
j BF ≈
Dw
◦
100
7.5
INFLUENCE DU GAIN STATIQUE EN BOUCLE OUVERTE
SUR LES PERFORMANCES EN BOUCLE FERMÉE
Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) caractérisé par un gain statique
variable K.
Soit :
G( p) =
K
a n p n + · · · + a 1 p + 1
Nous savons déjà que l’augmentation de K réduit la marge de phase, donc diminue la stabilité du système.
Comme :
j BF ≈
Dw
◦
100
cette augmentation du gain statique aura également pour conséquence la diminution du facteur d’amortissement en boucle fermée, donc l’augmentation du dépassement.
À l’inverse, en diminuant le gain statique, on augmente la stabilité et on limite le dépassement en boucle
fermée. Ces deux performances sont donc liées et évoluent positivement dans le même sens lorsque l’on
réduit le gain.
Malheureusement, agir sur le gain statique en boucle ouverte influence aussi la rapidité et la précision
du système en boucle fermée. En effet, nous savons déjà qu’une bonne précision est liée à un gain statique
important. Réduire le gain statique en boucle ouverte contribue donc à rendre le système moins précis en
boucle fermée.
Quant à l’influence du gain statique sur la rapidité, il est possible de la mettre en évidence en simulant
l’évolution du diagramme de Bode du système consécutive à une diminution du gain statique.
En diminuant K, le diagramme de Bode de gain du système se décale vers le bas (figure 7.5) tandis que
la courbe de phase ne change pas. De ce décalage résulte une diminution de la pulsation de coupure à 0
dB, v c0 .
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Remarque : L’approximation peut paraître grossière, mais il ne s’agit que d’un ordre de grandeur.
Comme le dépassement en boucle fermée ne dépend que du facteur d’amortissement j BF , nous venons
de montrer qu’il est possible de prédire ce dépassement en boucle fermée à partir de la valeur de la marge
de phase, autrement dit, à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte :
Dw
◦
→ j BF ≈
Dw
◦
100
→ d % = exp
⎛
⎝ −p
j BF
1 − j
2
BF
⎞
⎠
On peut également se référer à l’abaque des réponses indicielles en temps réduit d’un système du second
ordre fourni en annexe et y lire directement, à partir de la courbe correspondant au facteur d’amortissement
constaté, la valeur de son dépassement.
7.4.3 Généralisation
Pour tout système linéaire d’ordre quelconque présentant un fonctionnement analogue à un deuxième ordre,
nous conserverons cette estimation qui permet de prédire la valeur du dépassement en boucle fermée :
j BF ≈
Dw
◦
100
7.5
INFLUENCE DU GAIN STATIQUE EN BOUCLE OUVERTE
SUR LES PERFORMANCES EN BOUCLE FERMÉE
Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte G( p) caractérisé par un gain statique
variable K.
Soit :
G( p) =
K
a n p n + · · · + a 1 p + 1
Nous savons déjà que l’augmentation de K réduit la marge de phase, donc diminue la stabilité du système.
Comme :
j BF ≈
Dw
◦
100
cette augmentation du gain statique aura également pour conséquence la diminution du facteur d’amortissement en boucle fermée, donc l’augmentation du dépassement.
À l’inverse, en diminuant le gain statique, on augmente la stabilité et on limite le dépassement en boucle
fermée. Ces deux performances sont donc liées et évoluent positivement dans le même sens lorsque l’on
réduit le gain.
Malheureusement, agir sur le gain statique en boucle ouverte influence aussi la rapidité et la précision
du système en boucle fermée. En effet, nous savons déjà qu’une bonne précision est liée à un gain statique
important. Réduire le gain statique en boucle ouverte contribue donc à rendre le système moins précis en
boucle fermée.
Quant à l’influence du gain statique sur la rapidité, il est possible de la mettre en évidence en simulant
l’évolution du diagramme de Bode du système consécutive à une diminution du gain statique.
En diminuant K, le diagramme de Bode de gain du système se décale vers le bas (figure 7.5) tandis que
la courbe de phase ne change pas. De ce décalage résulte une diminution de la pulsation de coupure à 0
dB, v c0 .